向量(矢量)叉乘（叉积）与点乘（点积）
矢量叉乘与点乘
- 点乘（点积）
- 定义式
- 点乘的几何意义（实际意义）
- 叉乘（叉积）
- 定义式
- 叉乘的几何意义（实际意义）
今天来介绍一下数学上的叉乘与点乘的意义。
点乘（点积）
定义式
我们先来说明一下点乘。这里以向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E举例。我们知道向量点乘的定义式为：
n⃗⋅E⃗=∣n⃗∣∣E⃗∣cosθ\vec{n}\cdot\vec{E}=\lvert \vec{n} \rvert \lvert \vec{E} \rvert \cos{\theta}n⋅E=∣n∣∣E∣cosθ
如下图所示，其中：
- n⃗\vec{n}n：做点乘运算的第一个矢量。
- E⃗\vec{E}E：做点乘运算的第二个矢量。
- θ\thetaθ：向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E的夹角。
- ∣n⃗∣\lvert \vec{n} \rvert∣n∣：做点乘运算的第一个矢量的模值。
- ∣E⃗∣\lvert \vec{E} \rvert∣E∣：做点乘运算的第二个矢量的模值。
点乘的几何意义（实际意义）
从上图可得，OAOAOA的长度即为向量n⃗\vec{n}n在向量E⃗\vec{E}E方向上的投影大小。且OA=∣n⃗∣cosθOA =\lvert \vec{n} \rvert \cos{\theta}OA=∣n∣cosθ。再用这个结果乘以向量E⃗\vec{E}E的大小，我们可以理解为，将向量E⃗\vec{E}E的长度∣E⃗∣\lvert\vec{E}\rvert∣E∣扩大了∣n⃗∣cosθ\lvert\vec{n}\rvert\cos{\theta}∣n∣cosθ倍。
总结一下，即n⃗⋅E⃗\vec{n}\cdot\vec{E}n⋅E表示的是，将向量E⃗\vec{E}E的大小扩大向量n⃗\vec{n}n在向量E⃗\vec{E}E方向上的投影长度大小的倍数。或者，也可以理解为将向量n⃗\vec{n}n的大小扩大向量E⃗\vec{E}E在向量n⃗\vec{n}n方向上的投影长度大小的倍数。这就是向量点乘的几何意义。
然而有一种特殊的情况，即向量E⃗\vec{E}E为单位向量。那么此时，我们可以将n⃗⋅E⃗\vec{n}\cdot\vec{E}n⋅E理解为向量n⃗\vec{n}n在向量E⃗\vec{E}E方向上投影的长度。
叉乘（叉积）
定义式
接下来，我们来说明一下叉乘。这里以向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E举例。
n⃗×E⃗=∣n⃗∣∣E⃗∣sinθ\vec{n}\times\vec{E}=\lvert \vec{n} \rvert \lvert \vec{E} \rvert \sin{\theta}n×E=∣n∣∣E∣sinθ
其中：
- n⃗\vec{n}n：做叉乘运算的第一个矢量。
- E⃗\vec{E}E：做叉乘运算的第二个矢量。
- θ\thetaθ：向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E的夹角。
- ∣n⃗∣\lvert \vec{n} \rvert∣n∣：做叉乘运算的第一个矢量的模值。
- ∣E⃗∣\lvert \vec{E} \rvert∣E∣：做叉乘运算的第二个矢量的模值。
叉乘的几何意义（实际意义）
如上图所示，h=∣n⃗∣sinθh = \lvert \vec{n} \rvert \sin{\theta}h=∣n∣sinθ表示平行四边形底边上的高，进一步乘以底边的长度∣E⃗∣\lvert \vec{E} \rvert∣E∣即可得到平行四边形的面积，因此我们说，两个向量叉乘的几何意义表示的是由两个向量模的长度作为平行四边形两条边的平行四边形的面积。
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