复变函数总结二：积分变换（傅里叶变换为主）

这个总结文章本来是学完复变函数之后的复习总结，打印应付考试用的，后来假期里面又添加了一些公式、注意点什么的，稍稍完善了一些。

本文主要整理自我的复变函数老师的课件和作业、相关教材和上课笔记，不做商用，侵删。

手打公式难免有些小问题，如果有什么错误欢迎大家指正哈，评论或者私信都可以。

这一篇包含积分变换的主要内容，包括：

傅里叶变换的定义和性质
δ函数
拉普拉斯变换

注意：这里主要是从数学的角度来理解傅里叶变换，工程上可能会有所不同。

前文：复变函数一：复变函数

二、积分变换

傅里叶变换

傅里叶变换定义：

若f∈L(−∞,+∞)f\in L(-\infty,+\infty)f∈L(−∞,+∞)，即：∫−∞∞f(x)dx\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx∫−∞∞f(x)dx收敛，记：
f^(ω)=F[f(x)]=12π∫−∞∞f(x)e−iωxdx\hat{f}(\omega)=\mathcal{F}[f(x)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-i\omega x}dx} f^(ω)=F[f(x)]=2π1∫−∞∞f(x)e−iωxdx
称为f^(ω)\hat{f}(\omega)f^(ω)为f(x)f(x)f(x)的傅里叶变换。

傅里叶逆变换

若f∈L(−∞,+∞)∩C1(−∞,∞)f\in L(-\infty,+\infty)\cap C^1(-\infty,\infty)f∈L(−∞,+∞)∩C1(−∞,∞)，则有：
f(x)=12π∫−∞∞f^(ω)eiωxdω=F−1[f^(ω)]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(\omega)] f(x)=2π1∫−∞∞f^(ω)eiωxdω=F−1[f^(ω)]

傅里叶变换的性质

对称性质
f^(−ω)=(f^(ω))∗=F−1[f(x)]\hat{f}(-\omega)=(\hat{f}(\omega))^*=\mathcal{F}^{-1}[f(x)] f^(−ω)=(f^(ω))∗=F−1[f(x)]
线性性质

F[a1f1+a2f2]=a1F[f1]+a2F[f2]\mathcal{F}[a_1f_1+a_2f_2]=a_1\mathcal{F}[f_1]+a_2\mathcal{F}[f_2]\\ F[a1f1+a2f2]=a1F[f1]+a2F[f2]
傅里叶变换是线性变换。
平移性质
F[f(x±x0)]=e±iωx0F[f(x)]F[f(x)e±iω0x]=f^(ω∓ω0)\begin{aligned} & \mathcal{F}[f(x\pm x_0)]=e^{\pm i \omega x_0}\mathcal{F}[f(x)]\\ & \mathcal{F}[f(x)e^{\pm i \omega_0 x}]=\hat{f}(\omega \mp \omega_0) \end{aligned} F[f(x±x0)]=e±iωx0F[f(x)]F[f(x)e±iω0x]=f^(ω∓ω0)
相似性质
F[f(kx)]=1∣k∣f^(ωk),k≠0\mathcal{F}[f(kx)]=\frac{1}{|k|}\hat{f}(\frac{\omega}{k}),k\neq 0 F[f(kx)]=∣k∣1f^(kω),k=0
微分性质
F[ddxf(x)]=iωF[f(x)]F[xf(x)]=iddωf^(ω)\begin{aligned} & \mathcal{F}[\frac{d}{dx}f(x)]=i\omega \mathcal{F}[f(x)]\\ & \mathcal{F}[xf(x)]=i\frac{d}{d\omega}\hat{f}(\omega) \end{aligned} F[dxdf(x)]=iωF[f(x)]F[xf(x)]=idωdf^(ω)
积分性质
F[∫xf(ξ)dξ]=1iωF[f(x)]\mathcal{F}[\int^x f(\xi)d\xi]=\frac{1}{i\omega}\mathcal{F}[f(x)] F[∫xf(ξ)dξ]=iω1F[f(x)]
卷积性质
F[f1(x)⋆f2(x)]=2πF[f1(x)]F[f2(x)]\mathcal{F}[f_1(x)\star f_2(x)]=\sqrt{2\pi}\mathcal{F}[f_1(x)]\mathcal{F}[f_2(x)] F[f1(x)⋆f2(x)]=2πF[f1(x)]F[f2(x)]
卷积的定义：
f1(x)⋆f2(x)=∫−∞∞f1(ξ)f2(x−ξ)dξf_1(x)\star f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\xi)f_2(x-\xi)d\xi f1(x)⋆f2(x)=∫−∞∞f1(ξ)f2(x−ξ)dξ
守恒性质（perseval恒等式）

设f∈L1(−∞,+∞)∩L2(−∞,+∞)f\in L^1(-\infty, +\infty)\cap L^2(-\infty, +\infty)f∈L1(−∞,+∞)∩L2(−∞,+∞)，则有：
∫−∞∞∣f(x)∣2dx=∫−∞∞∣f^(ω)∣2dω\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2d\omega ∫−∞∞∣f(x)∣2dx=∫−∞∞∣f^(ω)∣2dω

注：常用的一些傅里叶变换：

(1)
f(x)=e−∣x∣f^(ω)=2π(1+ω2)\begin{aligned} & f(x)=e^{-|x|}\\ & \hat{f}(\omega)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}(1+\omega^2)} \end{aligned} f(x)=e−∣x∣f^(ω)=π(1+ω2)2
(2)
∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞∞e−x2dx=π
(3)
F[e−x2]=12e−ω24F[e−Ax2]=12Ae−ω24A\begin{aligned} & \mathcal{F}[e^{-x^2}]=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\omega^2}{4}}\\ & \mathcal{F}[e^{-Ax^2}]=\frac{1}{\sqrt{2A}}e^{-\frac{\omega^2}{4A}} \end{aligned} F[e−x2]=21e−4ω2F[e−Ax2]=2A1e−4Aω2

δ函数

定义：

δ(x)={0,x≠0+∞,x=0and∫∞∞δ(x)φ(x)dx=φ(0),∀φ∈C0∞(R)\delta(x)= \left\{ \begin{array}{rcl} & 0, x\neq 0\\ & +\infty, x=0 \end{array} \right . and \int_{\infty}^{\infty}\delta(x)\varphi(x)dx=\varphi(0), \forall \varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R}) δ(x)={0,x=0+∞,x=0and∫∞∞δ(x)φ(x)dx=φ(0),∀φ∈C0∞(R)

δ函数的一些性质

∫−∞∞δ(x−x0)φ(x)dx=φ(x0)xδ(x)=0δ(ax)=1∣a∣δ(x)f(x)δ(x−x0)=f(x0)δ(x−x0)δ(x−x0)⋆f(x)=f(x−x0)\begin{aligned} & \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-x_0)\varphi(x)dx}=\varphi(x_0)\\ & x\delta(x)=0\\ & \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\\ & f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)\delta(x-x_0)\\ & \delta(x-x_0)\star f(x)=f(x-x_0) \end{aligned} ∫−∞∞δ(x−x0)φ(x)dx=φ(x0)xδ(x)=0δ(ax)=∣a∣1δ(x)f(x)δ(x−x0)=f(x0)δ(x−x0)δ(x−x0)⋆f(x)=f(x−x0)

δ函数的积分和微分

δ函数的微分：

δ(x−x0)\delta (x-x_0)δ(x−x0)的导函数ζ(x−x0)\zeta(x-x_0)ζ(x−x0)
δ′(x−x0)=∫−∞∞ζ(x−x0)φ(x)dx=−φ′(x0),∀φ(x0)∈C0∞(R)\delta'(x-x_0)= \int_{-\infty}^{\infty}{\zeta(x-x_0)\varphi (x)dx}=-\varphi'(x_0),\forall \varphi(x_0)\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}) δ′(x−x0)=∫−∞∞ζ(x−x0)φ(x)dx=−φ′(x0),∀φ(x0)∈C0∞(R)
δ函数的积分 (Heaviside函数) ：
H(x)=∫−∞xδ(ξ)dξ={0,x<01,x>0=12+1π∫0∞sin⁡xξξdξ\begin{aligned} H(x)=\int_{-\infty}^{x}\delta(\xi)d\xi= \left\{ \begin{array}{rcl} 0, x<0\\ 1,x>0 \end{array} \right . =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin x \xi}{\xi}d\xi \end{aligned} H(x)=∫−∞xδ(ξ)dξ={0,x<01,x>0=21+π1∫0∞ξsinxξdξ

傅里叶变换

δ^(ω)=F[δ(x)]=12π∫−∞∞δ(x)e−iωxdx=12πF[H(x)]=1iω2π+π2δ(ω)\begin{aligned} \hat{\delta}(\omega) & =\mathcal{F}[\delta(x)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)e^{-i \omega x}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\\ \mathcal{F}[H(x)] & =\frac{1}{i\omega \sqrt{2\pi}}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega) \end{aligned} δ^(ω)F[H(x)]=F[δ(x)]=2π1∫−∞∞δ(x)e−iωxdx=2π1=iω2π1+2πδ(ω)

这注意阶跃函数的傅里叶变换不只是δ函数傅里叶变换除以iω，还要加上一个δ函数。

拉普拉斯变换

定义

定义函数f(t)f(t)f(t)的拉普拉斯变换：
L[f(t)]=f‾(p)=∫0∞f(t)e−ptdt\mathcal{L}[f(t)] =\overline{f}(p)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-pt}dt L[f(t)]=f(p)=∫0∞f(t)e−ptdt

性质

线性性质
F[a1f1+a2f2]=a1L[f1]+a2L[f2]\mathcal{F}[a_1f_1+a_2f_2]=a_1\mathcal{L}[f_1]+a_2\mathcal{L}[f_2] F[a1f1+a2f2]=a1L[f1]+a2L[f2]
平移性质
L[estf(t)]=f‾(p−s)L[f(t−τ)]=e−pτf‾(p)其中,s∈C,τ∈R均为常数\begin{aligned} \mathcal{L}[e^{st}f(t)]=\overline{f}(p-s)\\ \mathcal{L}[f(t-\tau)]=e^{-p\tau}\overline{f}(p)\\ 其中,s\in \mathbb{C},\tau \in \mathbb{R}均为常数 \end{aligned} L[estf(t)]=f(p−s)L[f(t−τ)]=e−pτf(p)其中,s∈C,τ∈R均为常数
相似性质
L[f(kt)]=1∣k∣f‾(pk),k>0\mathcal{L}[f(kt)]=\frac{1}{|k|}\overline{f}(\frac{p}{k}),k>0 L[f(kt)]=∣k∣1f(kp),k>0
微分性质
L[f(n)(t)]=pnf‾(p)−(pn−1f(0)+pn−2f(1)(0)+⋯+f(n−1)(0))f‾(n)(p)=L[(−t)nf(t)]\begin{aligned} & \mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=p^n \overline{f}(p)-(p^{n-1}f(0)+p^{n-2}f^{(1)} (0)+\dots+f^{(n-1)(0)})\\ & \overline{f}^{(n)} (p)=\mathcal{L}[(-t)^nf(t)] \end{aligned} L[f(n)(t)]=pnf(p)−(pn−1f(0)+pn−2f(1)(0)+⋯+f(n−1)(0))f(n)(p)=L[(−t)nf(t)]
积分性质
L[∫0tf(τ)dτ=1pf‾(p)∫p∞f‾(s)ds=L[f(t)t]\begin{aligned} & \mathcal{L}[\int_0^t f(\tau) d\tau=\frac{1}{p}\overline{f}(p)\\ & \int_p^{\infty}\overline{f}(s)ds=\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}] \end{aligned} L[∫0tf(τ)dτ=p1f(p)∫p∞f(s)ds=L[tf(t)]
卷积性质
L[f1(t)⋆f2(t)]=f1‾(p)f2‾(p)\mathcal{L}[f_1(t)\star f_2(t)]=\overline{f_1}(p)\overline{f_2}(p) L[f1(t)⋆f2(t)]=f1(p)f2(p)