二元函数可微与可导的关系_多元函数中可微与可导的直观区别是什么？

在多元的情况下，可微可导的关系要比在一元情况下复杂，但是只是要复杂一些，如果我们从一元开始去理解，你会发现并不困难。

这篇文章主要阐述以下三个概念：偏微分

偏导数

全微分

全导数这里暂时不讲，看名字好像和全微分关系很大，其实和“方向导数”的关系更大，所以留到讲“方向导数”的时候再一起来说。

1 偏微分

在一元函数中的微分就是函数的切线：

关于微分就是切线，我写的很多文章(比如我最近的如何通俗解释全微分？ )都希望大家可以理解这一点，虽然要严格讲清楚需要微分几何、流型的知识，但是我认为掌握了这一点对于我们学习微积分很有帮助。

我们发挥一下空间想象力，把它从平面中拽出来，进入三维空间：

之前是平面曲线，现在是空间曲线。切线仍然是切线，微分仍然是微分。

我们再想象一下，其实这个空间曲线是

$y=0$ 这个空间平面与

$f(x,y)$ 这个空间曲面的交线：

我们就把这个切线称为

$f(x,y)$ 对于

$x$ 的偏微分。为什么是对于

$x$ 的呢？因为这是

$f(x,y)$ 与

$y=0$ 的交线，在这条线上无论点怎么变化，都要满足

$y=0$ ，即

$y$ 是常数不会变化。

你来玩玩下面这个互动操作就知道了，点在线上变化只会改变

$x$ 和

$z$ ：

理解了这个，就可以举一反三，所有

$y=C$ (

$C$ 为常数)的平面与

$f(x,y)$ 的交线都是满足刚才说的特点：

这些交线上的点的切线都是

$f(x,y)$ 关于

$x$ 的偏微分。

当然，如果

$f(x,y)$ 与

$x=C$ (

$C$ 为常数)得到的交线，这些交线的切线就是

$f(x,y)$ 关于

$y$ 的偏微分。

总结，偏微分就是：固定

$y$ ，变换

$x$ 得到的就是

$f(x,y)$ 关于

$x$ 的偏微分

固定

$x$ ，变换

$y$ 得到的就是

$f(x,y)$ 关于

$y$ 的偏微分

2 偏导数

偏微分理解了偏导数就好理解了，就是偏微分的斜率，现在你应该可以明白为什么我们在求

$f(x,y)$ 对于

$x$ 的偏导数的时候，我们把

$y$ 当作常数来看待了吧。

只是有一点需要说明，在三维空间中角度可以有不同的定义，计算斜率的时候我们是看下面这个

$\alpha$ 角：

总结，偏导数就是偏微分的斜率。

3 全微分

其实，不光是

$x=C$ 或者

$y=C$ 这样的平面可以和

$f(x,y)$ 相交得到交线，所有和

$xy$ 平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线(微分)。

这个平面相交得到的交线：

这个平面也可以：

总之，应该是360°无死角，自己动手试试：

如果这些切线都存在，并且这些切线(无数条)还都在同一个平面上(平面不是曲面)，那么得到的这个平面就是全微分(也叫做切平面，或者说切空间)：

总结，全微分就是：360°微分都存在

并且这些微分要共面，得到的就是全微分

4 全微分与偏导数、偏微分的关系

根据全微分的定义，如果全微分存在，那么偏导数、偏微分一定存在。

但是反过来不一定成立，即偏导数、偏微分存在，全微分不一定存在。因为偏导、偏微分只是

$x$ 或者

$y$ 方向的导数、微分，而全微分要求的是360°无死角。

举个例子，看这个：

我们考察这个函数在

$A=(0,0,0)$ 点的全微分和偏微分的情况。

$f(x,y)$ 与

$y=0$ 的交线是：

平面与曲面所交曲线与

$x$ 轴重合：

在

$A=(0,0,0)$ 点的微分(切线)很明显，就是交线(

$x$ 轴)自身，因此关于

$x$ 的偏微分存在。

但是

$f(x,y)$ 与

$y=x$ 的交线是：

在

$A=(0,0,0)$ 点形成了一个尖点，很显然此时的微分不存在：

因此，全微分不存在。

总结，全微分与偏导数、偏微分的关系：全微分存在偏导数、偏微分一定存在

偏导数、偏微分存在全微分不一定存在

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