欧拉角和旋转变换：易混淆概念区分MATLAB计算

关于用欧拉角表示的坐标系姿态旋转变换，大多数教科书和博客上的讲解不甚明晰，自己多方研究分析后，根据自己的理解做如下记录，一方面帮助自己加深巩固，另一方面欢迎各位方家指正。

1. 概念定义

绕坐标系单轴旋转的矩阵：

2 描述坐标系旋转变换的两种形式：

内在旋转与外在旋转的转换关系：互换第一次和第三次旋转的位置则两者结果相同。例如Z-Y-X旋转和内部旋转和X-Y-Z旋转的外部旋转的旋转矩阵相同。详见文章的 “6. 附录：两种旋转标准对应的24种旋转矩阵” 部分。

关于内旋和外旋这两个概念，只不过是对于两种旋转方式的欧拉角的简称。

多数教科书中少有提及“内旋”和“外旋”这两个名词，但是对于相应的两种情况都会进行详细介绍，例如本博客中第4点引用的《机器人学导论》(John J. Craig版）中内容所示。这两种情况都属于欧拉角的范畴，两者不同之处是旋转的参考对象和旋转顺序不同，但是最终变换后的结果是相同的，所谓殊途同归，可参见本博客第6点【附录：两种旋转标准对应的24种旋转矩阵】，发现两种情况下的矩阵乘积结果是相同。

至于以下问题：

默认情况下，即在不指定说明“内旋”或“外旋”情况下，欧拉角的解算属于其中的一种呢？

答案是：在航空、航海和工业机器人末端姿态描述中，通常默认采用的欧拉角形式是“XYZ固定角坐标系”，即“外旋”形式；又称“RPY角“，分别先后按照X轴偏转（Yaw）、Y轴俯仰（Pitch）和绕Z轴滚动（Roll），对应的矩阵变换形式为 Rxyz=R(Z)*R(Y)*R(X)。在实际应用中，选用哪种形式要根据对象的特点（固定工位机器人or 移动机器人or无人机）和计算方便性选择合适的欧拉角。

内旋和外旋的区分方法是：根据矩阵相乘顺序与旋转顺序是否一致，两者一致的为内旋，不一致的为外旋。

3 基于旋转轴分类的欧拉角：

4 文献引用说明：

以下内容选自《机器人学导论》(John J. Craig版）的第31~34页。

5 常见误区：

下面内容摘自博客：欧拉角转旋转矩阵（Matlab内部函数&公式实现）

该博客作者混淆了欧拉角的两种不同转换标准，文章中写的

“S表示旋转顺序，我习惯上将‘XYZ’定义为“先旋转X，再旋转Y，最后旋转Z”，所以最后的R=RzRyRx（特别注意这里！不同的地方表示的含义不一样，有些工具(比如Matlab)里面’XYZ’，表示的是“先旋转Z，再旋转Y，最后旋转X”,所以最后的R=RxRyRz）”

这一部分，作者的旋转命名习惯（R=RzRyRx）是按照【欧拉角外旋】标准中的顺序，即每次旋转的轴是固定坐标系中的轴（绕固定坐标系旋转），所以R（XYZ）=RzRyRx；而MATLAB中计算欧拉角和旋转矩阵选用的是【欧拉角内旋】标准，即每次旋转围绕的轴是上次旋转之后坐标系的某个轴（绕动坐标系中的轴旋转），所以R（XYZ）=RxRyRz。

具体可通过MATLAB官方help文档中的案例来证明其错误，具体如下：

MATLAB官方help文档中计算欧拉角与旋转矩阵的函数说明：
由欧拉角计算旋转矩阵：eul2rotm

由旋转矩阵计算欧拉角：rotm2eul

6. 附录：两种旋转标准对应的24种旋转矩阵

参考文献：

欧拉角图解释
[Matlab科学计算] 1.欧拉角和坐标变换个人总结
欧拉角转旋转矩阵（Matlab内部函数&公式实现）
JohnJ.Craig. 机器人学导论[M]. 2006.