微分

1 连续性

众所周知微分的几何意义是斜率，然而斜率最初的定义只涉及直线，指的是y=kx+by=kx+by=kx+b中的kkk，而对任意曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)而言，若想谈其斜率，就必须先做出其切线，换句话说，y=f(x)y=f(x)y=f(x)其在x0x_0x0点的导数，是f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0点的切线的斜率。

从几何的视角去看，y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x0x_0x0点的切线首先要过x0x_0x0点，然后要求在足够小的区间内，和f(x)f(x)f(x)方向一致，从而才能说二者切在了一起。而所谓方向一致，直观的说法就是，在这个足够小的区间内，二者几乎重合。就像此前画的sin⁡x\sin xsinx和xxx在x=0x=0x=0附近的那张图一样。

这意味着，并非所有的函数都在任意点处存在切线。最直观的例子就是随机函数，对于y=r(x)y=r(x)y=r(x)来说，任何一点都随机地对应(0,1)(0,1)(0,1)区间中的某个点，由于这种对应足够稠密，任何位置都没有切线。

比如下面这个随机函数

x = seq(0,0.1,0.01)
y = runif(11,0,1)
plot(x,y)
lines(x,y)

尽管看上去任意一点都可画出一条不与相邻点相交的直线，但问题在于，我们所绘制的这个图只是对随机函数的一个抽样，在其任意相邻的两个点的中间，都有无穷多个(0,1)(0,1)(0,1)区间内的点，所以无论在x0x_0x0处绘制一条怎样的曲线，对于任意小的ε\varepsilonε，我们都能找到一点(x,f(x))(x,f(x))(x,f(x))，满足∣x−x0∣<ε|x-x_0|<\varepsilon∣x−x0∣<ε的同时，(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0,f(x0))到(x,f(x))(x,f(x))(x,f(x))没有任何重合的意图。

这个案例启发我们必须对函数进行一次划分，把随机函数这种过于混乱的东西从我们的研究对象中剔除，从而我们需要引入连续的概念。

对于r(x)∈(0,1)r(x)\in(0,1)r(x)∈(0,1)的随机函数来说，对任意一点x0x_0x0，我们创建一个任意小的区间[x0−ε,x0+ε][x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon][x0−ε,x0+ε]，这个区间的值域恒为(0,1)(0,1)(0,1)，如果我们画出(0,0.01)(0,0.01)(0,0.01)区间内的1000个点，那么大致是这样的

x = seq(0,0.01,0.00001)
y = runif(1001,0,1)
plot(x,y)

无论我们把区间缩小到什么程度，这种乱糟糟的仿佛要铺满整个坐标图的点的样式并不会发生变化。

但直线y=xy=xy=x却非如此，对任意一点x0x_0x0，我们创建一个任意小的区间[x0−ε,x0+ε][x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon][x0−ε,x0+ε]，这个区间的值域为(x0−ε,x0+ε)(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)(x0−ε,x0+ε)，随着ε\varepsilonε的不断缩小，这个区间也不断地趋近于0。

由此，我们可以定义连续函数：即随着定义域的区间长度趋近于0，则值域的区间长度也趋近于0的函数。

区间长度趋近于0就意味着区间内的元素个数越来越少，甚至到了常数个，乃至剩下最后一个。也就是说，随着x→x0x\to x_0x→x0，必有f(x)→f(x0)f(x)\to f(x_0)f(x)→f(x0)。这就是最常见的连续性的定义

lim⁡x→x0f(x)=f(lim⁡x→x0x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(\lim_{x\to x_0}x)=f(x_0) x→x0limf(x)=f(x→x0limx)=f(x0)

需要注意的是，上式中，f(lim⁡x→x0x)=f(x0)f(\lim_{x\to x_0}x)=f(x_0)f(limx→x0x)=f(x0)之所以成立，乃因f(x)=xf(x)=xf(x)=x是不证自明的连续函数。

把一个连续函数变成不连续的函数十分简单，只要把其中任意一个点扣掉就可以了，例如函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)显然是连续的，但下面这个函数就显然不连续。

f(x)={x,x≠01,x=0f(x)=\left\{\begin{aligned} x,\quad &x\not=0\\ 1,\quad&x=0 \end{aligned}\right. f(x)={x,1,x=0x=0

或者把一个连续的函数撕成两半，比如下面这个

f(x)={x,x>0x+1,x≤0f(x)=\left\{\begin{aligned} &x,\quad &x>0\\ &x+1,\quad&x\leq0 \end{aligned}\right. f(x)={x,x+1,x>0x≤0

而这个函数在x=0x=0x=0的时候又有了一个奇怪的性质，即

lim⁡x→x+f(x)=0≠f(0)lim⁡x→x−f(x)=1=f(0)\begin{aligned} \lim_{x\to x_+}f(x)=0\not =f(0)\\ \lim_{x\to x_-}f(x)=1=f(0)\\ \end{aligned} x→x+limf(x)=0=f(0)x→x−limf(x)=1=f(0)

也就是说，f(x)f(x)f(x)从左边趋近于0的时候，f(x)在0处是连续的，而在右侧趋近于0的时候，却并不连续。此即左连续和右连续的概念。

2 求导

回到切线的问题，如果曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x0x_0x0点并不连续，那么这点显然没有唯一的一条切线。

有的时候，尽管满足了连续性的要求，也不一定存在切线，比如

y=∣x∣y=|x|y=∣x∣

x = seq(-10,10)
y = abs(x)
plot(x,y,type='l')

在x=0x=0x=0的位置，我们找到的切线要么和左边重合，要么和右边重合，也就是说这个函数在x=0x=0x=0处存在两条切线。

同时也就意味着这一点有两个斜率，两个导数。所以，如果把导数定义为某种映射，则一个点不可能映射为两个导数，所以宁愿让这点的导数不存在。

这种为了保证映射成立而舍弃某个值的做法并不罕见，早在中学时代，N\sqrt NN就是个典型的例子，在定义偶数次根的时候，我们把负值舍弃了。但这里做得更绝，左右两端的值都被舍弃了，从而被判定不可导。

在对求导有了直观的几何印象之后，我们再来用分析的语言表述何谓“在足够小的区间内几乎重合”。

对于曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)，在x=x0x=x_0x=x0处的切线为y=kx+by=kx+by=kx+b，则满足

lim⁡ε→0f(x0+ε)−[k(x0+ε)+b]=0\lim_{\varepsilon\to0}f(x_0+\varepsilon)-[k(x_0+\varepsilon)+b]=0 ε→0limf(x0+ε)−[k(x0+ε)+b]=0

由于二者在x0x_0x0点重合，即f(x0)=kx0+bf(x_0)=kx_0+bf(x0)=kx0+b这个式子可以写为

lim⁡ε→0f(x0+ε)=lim⁡ε→0[kx0+b+kε]=lim⁡ε→0[f(x0)+kε]\lim_{\varepsilon\to0}f(x_0+\varepsilon)=\lim_{\varepsilon\to0}[kx_0+b+k\varepsilon]=\lim_{\varepsilon\to0}[f(x_0)+k\varepsilon] ε→0limf(x0+ε)=ε→0lim[kx0+b+kε]=ε→0lim[f(x0)+kε]

整理可得

k=lim⁡ε→0f(x0+ε)−f(x0)εk=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{f(x_0+\varepsilon)-f(x_0)}{\varepsilon} k=ε→0limεf(x0+ε)−f(x0)

kkk就是导数。写成我们熟悉的形式就是

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)

若将dx\text dxdx定义为xxx的微小变化量，dy\text dydy定义为yyy的微小变化量，则导数可以写成微分的形式

f′(x0)=dydy∣x=x0f'(x_0)=\frac{\text dy}{\text dy}|_{x=x_0} f′(x0)=dydy∣x=x0

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