概念

方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析即影响试验的因素只有一个。

需要满足的假设

样本是独立的。
每个样本来自正态分布的总体。
各总体的标准偏差都是相等的，即同方差性。

准备数据

将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，这种结合会降低药效。下表给出了四种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。推断不同抗生素的结合百分比是否有显著性差异（设显著性水平为0.05）。

抗生素	结合百分比
A1	29.6 , 24.3 , 28.5 , 32.0 , 28.6 , 31.5 , 25.7
A2	27.3 , 32.6 , 30.8 , 34.8 , 31.4
A3	21.6 , 17.5 , 18.3 , 19.0 , 23.4 , 14.8
A4	29.2 , 32.8 , 25.0 , 24.2 , 28.2 , 27.4

将数据导入Python：

dic_t=[{'抗生素':'A1','结合百分比':29.6},{'抗生素':'A1','结合百分比':24.3},{'抗生素':'A1','结合百分比':28.5},{'抗生素':'A1','结合百分比':32.0},{'抗生素':'A1','结合百分比':28.6},{'抗生素':'A1','结合百分比':31.5},{'抗生素':'A1','结合百分比':25.7},{'抗生素':'A2','结合百分比':27.3},{'抗生素':'A2','结合百分比':32.6},{'抗生素':'A2','结合百分比':30.8},{'抗生素':'A2','结合百分比':34.8},{'抗生素':'A2','结合百分比':31.4},{'抗生素':'A3','结合百分比':21.6},{'抗生素':'A3','结合百分比':17.5},{'抗生素':'A3','结合百分比':18.3},{'抗生素':'A3','结合百分比':19.0},{'抗生素':'A3','结合百分比':23.4},{'抗生素':'A3','结合百分比':14.8},{'抗生素':'A4','结合百分比':29.2},{'抗生素':'A4','结合百分比':32.8},{'抗生素':'A4','结合百分比':25.0},{'抗生素':'A4','结合百分比':24.2},{'抗生素':'A4','结合百分比':28.2},{'抗生素':'A4','结合百分比':27.4},]
df_t=pd.DataFrame(dic_t)

方差齐性检验

运用Levene方差齐性检验，先对各总体等方差的假设进行检验，代码如下：

def f_homovar(df_c,col_fac,col_sta):df=df_c.copy()list_fac=df[col_fac].unique()for i in list_fac:df.loc[df[col_fac]==i,col_sta]=abs(df[df[col_fac]==i][col_sta]-df[df[col_fac]==i][col_sta].mean())r=len(list_fac)n=df[col_sta].count()x_bar=df[col_sta].mean()list_Qa=[]list_Qw=[]for i in list_fac:series_i=df[df[col_fac]==i][col_sta]xi_bar=series_i.mean()ni=series_i.count()list_Qa.append(ni*(xi_bar-x_bar)**2)list_Qw.append(((series_i-xi_bar)**2).sum())Sa=sum(list_Qa)/(r-1)Sw=sum(list_Qw)/(n-r)F=Sa/Swsig=stats.f.sf(F,r-1,n-r)dic_res=[{'Levene Statistic':F,'df1':r-1,'df2':n-r,'Sig.':sig}]df_res=pd.DataFrame(dic_res,columns=['Levene Statistic','df1','df2','Sig.'])return df_res
f_homovar(df_t,'抗生素','结合百分比')

结果如下：

由于p值 Sig.= 0.979 > 0.05，故可以认为各总体方差相等。

单因素方差分析

接下来进行单因素方差分析，代码如下：

def f_oneway(df_c,col_fac,col_sta):df=df_c.copy()list_fac=df[col_fac].unique()r=len(list_fac)n=df[col_sta].count()x_bar=df[col_sta].mean()list_Qa=[]list_Qw=[]for i in list_fac:series_i=df[df[col_fac]==i][col_sta]xi_bar=series_i.mean()ni=series_i.count()list_Qa.append(ni*(xi_bar-x_bar)**2)list_Qw.append(((series_i-xi_bar)**2).sum())Sa=sum(list_Qa)/(r-1)Sw=sum(list_Qw)/(n-r)F=Sa/Swsig=stats.f.sf(F,r-1,n-r)df_res=pd.DataFrame(columns=['方差来源','平方和','自由度','均方','F值','Sig.'])df_res['方差来源']=['组间','组内','总和']df_res['平方和']=[sum(list_Qa),sum(list_Qw),sum(list_Qa)+sum(list_Qw)]df_res['自由度']=[r-1,n-r,n-1]df_res['均方']=[Sa,Sw,'-']df_res['F值']=[F,'-','-']df_res['Sig.']=[sig,'-','-']return df_res
f_oneway(df_t,'抗生素','结合百分比')

结果如下：

由于p值 Sig.= 0.000 < 0.05，故可以认为不同抗生素的结合百分比有显著差异。

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