一、卡尔曼滤波的实际应用

在这里依旧以前面提到的测量硬币为例进行MATLAB仿真。现有一枚硬币为了这枚硬币的直径，我们进行了多次测量，但是所使用的的尺子存在一定误差，人进行测量的过程中存在测量误差，而且由常识可以估算硬币的直径得到估计值。所以测量所得到的值与估计值哪一个更接近真实值呢？
已知：硬币直径真实值为50mm；
首次估计误差为40mm；
过程误差方差为4e-4；
尺子的误差方差为3。

二、流程图

由前面几篇博客对卡尔曼滤波公式进行了仔细的推导，一共得到了五大公式。卡尔曼滤波的过程就是对系统进行预测加矫正的过程，两者循环迭代使系统逐渐趋近于真实值。下面就是卡尔曼滤波过程的流程图。

三、执行过程

一、由k-1次估计的硬币直径x^k−1\hat{x}_{k-1}x^k−1 去估计第k次系统的状态值（直径） x^k−,x^k−=Ax^k−1+Buk−1\hat{x}_{k}^{-}, \hat{x}_{k}^{-}=A \hat{x}_{k-1}+B u_{k-1}x^k−,x^k−=Ax^k−1+Buk−1, 对应于本例中系统无输入uk−1=0u_{k-1} = 0uk−1=0 ；A=H=I；Q=4e−4;R=3A = H= I；Q = 4e-4;R = 3A=H=I；Q=4e−4;R=3。则x^k−=x^k−1=40mm\hat{x}_{k}^{-}=\hat{x}_{k-1}=40mmx^k−=x^k−1=40mm。

二、由上一次的误差协方差 Pk−1P_{k-1}Pk−1 和过程噪声Q预测新的误差 Pk−,Pk−=P_{k}^{-}, P_{k}^{-}=Pk−,Pk−= APk−1AT+QA P_{k-1} A^{T}+QAPk−1AT+Q, 对应于本例中Pk−=5P_{k}^{-}=5Pk−=5 。

三、计算卡尔曼增益, Kk=Pk−HT(HPk−HT+R)−1K_{k}=P_{k}^{-} H^{T}\left(H P_{k}^{-} H^{T}+R\right)^{-1}Kk=Pk−HT(HPk−HT+R)−1, 对应于本例中 Kk=K_{k}=Kk= 5/(5+3),Kk=0.6255/\left(5+3\right), \quad K_{k}=0.6255/(5+3),Kk=0.625 。

四、进行校正更新, x^k=x^k−+Kk(zk−Hx^k−)\hat{x}_{k}=\hat{x}_{k}^{-}+K_{k}\left(z_{k}-H \hat{x}_{k}^{-}\right)x^k=x^k−+Kk(zk−Hx^k−), 对应于上例中 x^k=40+0.625∗\hat{x}_{k}=40+0.625 *x^k=40+0.625∗ (zk−40)(z_{k}-40)(zk−40), 此 x^k\hat{x}_{k}x^k 即为 k\mathrm{k}k 时刻的最优直径。

五、为下一步估计 k+1\mathrm{k}+1k+1 时刻的最优温度值的迭代进行更新操作, 级更新 PkP_{k}Pk 值, Pk=(I−KkH)Pk−,P_{k}=\left(I-K_{k} H\right) P_{k}^{-}, \quadPk=(I−KkH)Pk−, 对应于上例中的 (1−Kk)∗5=1.875\left(1-K_{k}\right) * 5=1.875(1−Kk)∗5=1.875。

方法	kalman 公式	对应本例kalman 公式
先验估计	x^k−=Ax^k−1+Buk−1\hat{x}_{k}^-=A \hat{x}_{k-1}+B u_{k-1}x^k−=Ax^k−1+Buk−1	x^k−=x^k−1\hat{x}_{k}^{-}=\hat{x}_{k-1}x^k−=x^k−1
先验误差协方差矩阵	Pk−=APk−1AT+QP_{k}^{-}=A P_{k-1} A^{T}+QPk−=APk−1AT+Q	Pk−=P_{k}^{-}=Pk−= Pk−1+QP_{k-1} +QPk−1+Q
卡尔曼增益	Kk=Pk−HTHPk−HT+RK_{k}=\frac{P_{k}^{-} H^{T}}{H P_{k}^{-} H^{T}+R}Kk=HPk−HT+RPk−HT	Kk=Pk−Pk−+RK_{k}=\frac{P_{k}^{-} }{P_{k}^{-}+R}Kk=Pk−+RPk−
后验估计	x^k=x^k−+Kk(zk−Hx^k−)\hat{x}_{k}=\hat{x}_{k}^{-}+K_{k}\left(z_{k}-H \hat{x}_{k}^{-}\right)x^k=x^k−+Kk(zk−Hx^k−)	x^k=x^k−+Kk(zk−x^k−)\hat{x}_{k}=\hat{x}_{k}^{-}+K_{k}\left(z_{k}- \hat{x}_{k}^{-}\right)x^k=x^k−+Kk(zk−x^k−)
更新误差协方差矩阵	Pk=(I−KkH)Pk−P_{k}=\left(I-K_{k} H\right) P_{k}^{-}Pk=(I−KkH)Pk−	Pk=(I−Kk)Pk−P_{k}=\left(I-K_{k} \right) P_{k}^{-}Pk=(I−Kk)Pk−

四、程序代码

本次程序运行环境为WIN7+MATLAB R2018a

% Kalman filter example
%% 系统描述：
% 1.硬币直径真实值为50mm；
% 2.开始时，硬币直径的估计为40mm，估计误差为5mm；
% 3.尺子的测量误差为3mm；
%% 变量初始化
close all;% intial parameters
% 计算连续n_iter次数
n_iter = 100;
% size of array. n_iter行，1列
sz = [n_iter, 1];
% 硬币直径的真实值
x = 50;
% 过程方差，反应连续两个次直径方差。更改查看效果
Q = 4e-4;
% 测量方差，反应尺子的测量精度。更改查看效果
R = 3;
% z是尺子的测量结果，在真实值的基础上加上了方差为3的高斯噪声。
z = x + sqrt(R)*randn(sz);
%% 对数组进行初始化
% 对直径的后验估计。即在k次，结合尺子当前测量值与k-1次先验估计，得到的最终估计值
xhat = zeros(sz);
% 后验估计的方差
P = zeros(sz);
% 直径的先验估计。即在k-1次，对k时刻直径做出的估计
xhatminus = zeros(sz);
% 先验估计的方差
Pminus = zeros(sz);
% 卡尔曼增益，反应了尺子测量结果与过程模型（即当前时刻与下一次直径相同这一模型）的可信程度
K = zeros(sz);
% intial guesses
xhat(1) = 40; %直径初始估计值为40mm
P(1) =10; % 误差方差为10
%% kalman 方程
for k = 2:n_iter% 时间更新（预测） % 用上一次的最优估计值来作为对本次的直径的预测xhatminus(k) = xhat(k-1);% 预测的方差为上一次直径最优估计值的方差与过程方差之和Pminus(k) = P(k-1)+Q;% 测量更新（校正）% 计算卡尔曼增益K(k) = Pminus(k)/( Pminus(k)+R );% 结合当前时刻尺子的测量值，对上一次的预测进行校正，得到校正后的最优估计。该估计具有最小均方差xhat(k) = xhatminus(k)+K(k)*(z(k)-xhatminus(k));% 计算最终估计值的方差P(k) = (1-K(k))*Pminus(k);
end
%% 作图
FontSize = 14;
LineWidth = 3; % 线宽
figure();
plot(z,'r-*'); %画出尺子的测量值
hold on;
plot(xhat,'b-','LineWidth',LineWidth) %画出最优估计值
hold on;
plot(x*ones(sz),'g-','LineWidth',LineWidth); %画出真实值
grid on;legend('尺子的测量结果', '后验估计', '真实值');
title('kalman 滤波','fontsize',FontSize);
xl = xlabel('次数');
yl = ylabel('直径（mm）');
set(xl,'fontsize',FontSize);
set(yl,'fontsize',FontSize);
hold off;
set(gca,'FontSize',FontSize);% gca:坐标轴序号figure();
valid_iter = 2:n_iter; % Pminus not valid at step 1
% 画出最优估计值的方差
plot(valid_iter,P(valid_iter),'LineWidth',LineWidth);
grid on;legend('后验估计的误差估计');
title('最优估计值的方差','fontsize',FontSize);
xl = xlabel('次数');
yl = ylabel('次数^2');
set(xl,'fontsize',FontSize);
set(yl,'fontsize',FontSize);
set(gca,'FontSize',FontSize);

五、仿真结果

参考文献

MATLAB官方文档
二维图绘制官方文档

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