2.11 矩阵和实数运算不同之处

矩阵和实数运算不同之处

除了矩阵乘法不满足交换律外，矩阵还有几个特殊之处。

定义零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O\mathbf{O}O 。注意不同型的零矩阵是不同的。

实数 ab=0ab=0ab=0 可得 a=0a=0a=0 或 b=0b=0b=0 ，矩阵中存在类似的结论吗，即两个矩阵乘积为零矩阵，可得出某个矩阵为零矩阵吗？结论是不能！若有两个矩阵 AAA 、BBB 满足 AB=OA B = \mathbf{O}AB=O ，不能得出 A=OA = \mathbf{O}A=O 或 B=OB = \mathbf{O}B=O 的结论；若 A≠OA \ne \mathbf{O}A=O 而 A(X−Y)=OA(X - Y)= \mathbf{O}A(X−Y)=O ，不能得出 X=YX = YX=Y 的结论。

为什么呢？如果矩阵 AAA 是相关组，则存在多个非零向量 bi\mathbf{b_i}bi 满足 Abi=0A\mathbf{b_i} = \mathbf{0}Abi=0 ，合成矩阵形式即得 AB=OA B = \mathbf{O}AB=O 。

例如
A=[1224]B=[2−4−12]AB=[0000]A= \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right] \quad B= \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right] \quad AB= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] A=[1224]B=[2−1−42]AB=[0000]

实数 a2=1a^2=1a2=1 可得 a=1a=1a=1 或 a=−1a=-1a=−1 ，矩阵中存在类似的结论吗，即矩阵平方为单位矩阵，可得出矩阵为单位矩阵或相反的单位矩阵吗？结论是不能！若有矩阵 AAA 满足 AA=EAA = EAA=E ，不能得出 A=EA = EA=E 或 A=−EA = -EA=−E 的结论。

定义对合矩阵逆矩阵等于自身的矩阵，即满足 AA=EAA = EAA=E 的矩阵。

对合矩阵有无穷多个，不只是单位矩阵。矩阵如果即是对称矩阵又是正交矩阵，则是对合矩阵。

实数 a2=aa^2=aa2=a 可得 a=1a=1a=1 或 a=0a=0a=0 ，矩阵中存在类似的结论吗，即矩阵平方等于自身，可得出矩阵为单位矩阵或零矩阵吗？结论是不能！若有矩阵 AAA 满足 AA=AAA = AAA=A ，不能得出 A=EA = EA=E 或 A=OA = \mathbf{O}A=O 的结论。

定义幂等矩阵矩阵平方等于自身，即满足 AA=AAA = AAA=A 。

幂等矩阵有无穷多个，投影矩阵 PPP 就是幂等矩阵，且 2A−E2A - E2A−E 是对合矩阵。

故大家在进行矩阵运算时，不能想当然地认为实数结论可以推广到矩阵，一定要谨慎！因为矩阵本质上是一种线性映射，是一种函数。矩阵乘法对应着函数的复合，而函数的复合是不可交换的，导致矩阵乘法极其复杂。

矩阵乘法没有逆运算：除法，不能定义矩阵 A／BA／BA／B 。

因为矩阵乘法 AB=CAB=CAB=C 的逆是已知矩阵 AAA 和 CCC ，求矩阵 BBB 。满足等式成立的矩阵 BBB 不唯一，所以无法定义矩阵除法。矩阵 AAA 满足什么条件，矩阵 BBB 是唯一的呢？当矩阵 AAA 的向量组是无关组时，Abi=ciA\mathbf{b_i} = \mathbf{c_i}Abi=ci 是单射，向量 ci\mathbf{c_i}ci 确定唯一的向量 bi\mathbf{b_i}bi ，所以 AB=[Ab1,⋯,Abp]=[c1,⋯,cp]=CAB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right] = \left[ \mathbf{c_1},\cdots,\mathbf{c_p}\right]=CAB=[Ab1,⋯,Abp]=[c1,⋯,cp]=C ，矩阵 CCC 确定唯一矩阵 BBB ，此时才能定义矩阵除法。

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