[Leedcode][JAVA][第152题][乘积最大子数组][动态规划]

【问题描述】[中等]

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。示例 1:输入: [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
示例 2:输入: [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

【解答思路】

1. 动态规划

时间复杂度：O(N) 空间复杂度：O(N)

public class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {int len = nums.length;if (len == 0) {return 0;}// dp[i][0]：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最小值// dp[i][1]：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大值int[][] dp = new int[len][2];dp[0][0] = nums[0];dp[0][1] = nums[0];for (int i = 1; i < len; i++) {if (nums[i] >= 0) {dp[i][0] = Math.min(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]);dp[i][1] = Math.max(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][1]);} else {dp[i][0] = Math.min(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][1]);dp[i][1] = Math.max(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]);}}// 只关心最大值，需要遍历int res = dp[0][1];for (int i = 1; i < len; i++) {res = Math.max(res, dp[i][1]);}return res;}
}

2. 动态规划优化表格复用

时间复杂度：O(N) 空间复杂度：O(1)

public class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {int len = nums.length;if (len == 0) {return 0;}int preMax = nums[0];int preMin = nums[0];// 滚动变量int curMax;int curMin;int res = nums[0];for (int i = 1; i < len; i++) {if (nums[i] >= 0) {curMax = Math.max(preMax * nums[i], nums[i]);curMin = Math.min(preMin * nums[i], nums[i]);} else {curMax = Math.max(preMin * nums[i], nums[i]);curMin = Math.min(preMax * nums[i], nums[i]);}res = Math.max(res, curMax);// 赋值滚动变量preMax = curMax;preMin = curMin;}return res;}
}

class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {int max = Integer.MIN_VALUE, imax = 1, imin = 1; //一个保存最大的，一个保存最小的。for(int i=0; i<nums.length; i++){if(nums[i] < 0){ int tmp = imax; imax = imin; imin = tmp;} //如果数组的数是负数，那么会导致最大的变最小的，最小的变最大的。因此交换两个的值。imax = Math.max(imax*nums[i], nums[i]);imin = Math.min(imin*nums[i], nums[i]);max = Math.max(max, imax);}return max;}
}

【总结】

1.无后效性

无后效性是指如果在某个阶段上过程的状态已知，则从此阶段以后过程的发展变化仅与此阶段的状态有关，而与过程在此阶段以前的阶段所经历过的状态无关。利用动态规划方法求解多阶段决策过程问题，过程的状态必须具备无后效性

「动态规划」通常不关心过程，只关心「阶段结果」，这个「阶段结果」就是我们设计的「状态」。什么算法关心过程呢？「回溯算法」，「回溯算法」需要记录过程，复杂度通常较高。

而将状态定义得更具体，通常来说对于一个问题的解决是满足「无后效性」的。这一点的叙述很理论化，不熟悉朋友可以通过多做相关的问题来理解「无后效性」这个概念。

2.做题通常可以不先考虑优化空间

空间通常来说是用户不敏感的，并且在绝大多数情况下，空间成本低，我们写程序通常需要优先考虑时间复杂度最优；
时间复杂度和空间复杂度通常来说不可能同时最优，所以我们经常看到的是优化解法思路都是「空间换时间」，这一点几乎贯穿了基础算法领域的绝大多数的算法设计思想；
限制空间的思路，通常来说比较难，一般是在优化的过程中才考虑优化空间，在一些限制答题时间的场景下（例如面试），先写出一版正确的代码是更重要的，并且不优化空间的代码一般来说，可读性和可解释性更强。

3.动态规划总结

动态规划问题通常用于计算多阶段决策问题的最优解。
多阶段，是指解决一个问题有多个步骤；
最优解，是指「最优子结构」。

动态规划有三个概念很重要：
重复子问题：因为重复计算，所以需要「空间换时间」，记录子问题的最优解；
最优子结构：规模较大的问题的最优解，由各个子问题的最优解得到；
无后效性（上面已经解释）。

动态规划有两个特别关键的步骤：
设计状态：

有些题目问啥，就设计成什么；
如果不行，只要有利于状态转移，很多时候，就可以设计成状态；
根据过往经验；
还有一部分问题是需要在思考的过程中调整的，例如本题。

**推导状态转移方程：**通常是由问题本身决定的。

动态规划问题思考的两个方向：

自顶向下：即「递归 + 记忆化」，入门的时候优先考虑这样做；
自底向上：即「递归」，从一个最小的问题开始，逐步得到最终规模问题的解。后面问题见得多了，优先考虑这样做，绝大部分动态规划问题可以「自底向上」通过递推得到。

转载链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-product-subarray/solution/dong-tai-gui-hua-li-jie-wu-hou-xiao-xing-by-liweiw/