图形学1-三维坐标系间的变换矩阵推导

概要：三维坐标系的变换，实质上则是原点以及正交基向量的变化，在空间中表现为平移和旋转。

如图所示的坐标系变换，可以用一个变换矩阵来表示。

虽然原理也比较简单，但是大一学的线性代数已经有点忘记了。==

接下来，就当复习一下，我来推导出这个变换矩阵是如何得到的，用到是一些比较基本的线性代数的知识。

首先，我们要理解为什么需要这个矩阵，我们在什么情况下需要这个矩阵。很明显，在已知新坐标系的基向量的情况下，如果我们需要将原坐标系的坐标转化为新坐标系下的坐标，就可以使用这个矩阵。

已知：点P在原坐标系的坐标为（x，y，z），x轴方向的单位向量为,y轴方向的单位向量为，z轴方向的单位向量为，

新坐标系的原点在原坐标系的坐标为（x0，y0，z0），

x轴方向的单位向量为

y轴方向的单位向量为

z轴方向的单位向量为

求：点P在新坐标系下的坐标（x’，y’，z’）。

理解：所谓点的坐标其实就是向量的线性组合，而坐标系之间基向量的转变也是向量的线性组合，这时候很明显要想到矩阵了！

为了得到这个矩阵，我们需要构造一个线性方程组。如下：

根据这个方程组我们可以比较容易地得到:

接下来是最后一步，我要求出这个方阵的逆矩阵，这里只需要先左乘一个矩阵使得方阵变为这个形式的矩阵。

然后，再对A、B分别求逆矩阵即可，而A矩阵是正交矩阵，正交矩阵的逆矩阵等于转置矩阵，这里只需要简单地转置即可，而B矩阵为[1]，逆矩阵为[1]。

最后得到，

右边的方阵就是我们所需要的变换矩阵！

总结：坐标系的转化，其实就是将衡量标准通过另一组正交基向量来展示，而正交基向量的转化就是对原正交基向量的线性组合。

By-蒋晨书 2017-4-8

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