Chirp-Z变换（Chirp-Z Transform，CZT）

采用FFT算法可以很快地计算出全部DFT值，即Z变换在单位圆上的全部等间隔采样值。
在实际情况中，并不需要对整个单位圆的频谱进行分析，例如，对于窄带信号，往往只需要对信号所在的一段频带进行分析，即可在所关心的这段频带内进行密集的采样，而对这个频带以外的部分可以完全不管。
Z变换的螺旋采样，它沿Z平面上的一段螺线进行等分角的采样，这些采样点可以表示为
zk=AW−k,k=0,1,⋯,M−1z_k=AW^{-k},\ \ k=0,1,\cdots,M-1zk=AW−k, k=0,1,⋯,M−1
其中，MMM为采样点的总数，AAA为起始点位置，可以用半径A0A_0A0及相角θ0\theta_0θ0表示为A=A0ejθ0A=A_0 e^{j\theta_0}A=A0ejθ0；
参数WWW表示为W=W0e−jϕ0W=W_0e^{-j\phi_0}W=W0e−jϕ0，W0W_0W0为螺线的伸展率，W0>1W_0>1W0>1，螺线内缩，W0<1W_0<1W0<1，螺线外伸;
ϕ0\phi_0ϕ0为螺线上采样点之间的等分角。

当M=NM=NM=N、A=1A=1A=1、W=e−j2πNW=e^{-j\frac{2\pi}{N}}W=e−jN2π时，zkz_kzk就等间隔地分布在单位圆上，这时CZT退化DFT。
假设x(n)x(n)x(n)是长度为NNN的有限长序列，则其Z变换在采样点zkz_kzk上的值X(zk)=∑n=0N−1x(n)zk−n,k=0,1,1,⋯,M−1X(z_k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)z_k^{-n}, \ \ k=0,1,1,\cdots,M-1X(zk)=n=0∑N−1x(n)zk−n, k=0,1,1,⋯,M−1
为减少计算量，将上式运算转换为卷积形式，从而采用FFT进行计算。

算法原理

将zk=AW−kz_k=AW^{-k}zk=AW−k代入X(zk)=∑n=0N−1x(n)zk−nX(z_k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)z_k^{-n}X(zk)=∑n=0N−1x(n)zk−n可得
X(zk)=∑n=0N−1x(n)A−nWnkX(z_k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}W^{nk}X(zk)=n=0∑N−1x(n)A−nWnk
将nknknk替换为12[k2+n2−(k−n)2]\frac{1}{2}[k^2+n^2-(k-n)^2]21[k2+n2−(k−n)2]，则
X(zk)=∑n=0N−1x(n)A−nW12[k2+n2−(k−n)2]=Wk22∑n=0N−1x(n)A−nWn22W−(k−n)22X(z_k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}W^{\frac{1}{2}[k^2+n^2-(k-n)^2]}=W^\frac{k^2}{2}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}}W^{-\frac{(k-n)^2}{2}}X(zk)=n=0∑N−1x(n)A−nW21[k2+n2−(k−n)2]=W2k2n=0∑N−1x(n)A−nW2n2W−2(k−n)2
定义g(n)=x(n)A−nWn22,n=0,1,2,⋯,N−1g(n)=x(n)A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}},\ \ n=0,1,2,\cdots,N-1g(n)=x(n)A−nW2n2,  n=0,1,2,⋯,N−1和h(n)=W−n22h(n)=W^{\frac{-n^2}{2}}h(n)=W2−n2，则有
g(k)∗h(k)=∑n=0N−1g(n)h(k−n)=∑n=0N−1x(n)A−nWn22W−(k−n)22,k=0,1,⋯,M−1g(k)\ast h(k)=\sum_{n=0}^{N-1}g(n)h(k-n)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}}W^{-\frac{(k-n)^2}{2}},\ \ k=0,1,\cdots,M-1g(k)∗h(k)=n=0∑N−1g(n)h(k−n)=n=0∑N−1x(n)A−nW2n2W−2(k−n)2,  k=0,1,⋯,M−1
则有
X(zk)=[g(k)∗h(k)]Wk22,k=0,1,⋯,M−1X(z_k)=[g(k)\ast h(k)]W^{k^2}{2},\ \ k=0,1,\cdots,M-1X(zk)=[g(k)∗h(k)]Wk22,  k=0,1,⋯,M−1
算法流程图如下：

实现步骤

选择一个最小整数LLL，使其满足L≥N+M−1L\ge N+M-1L≥N+M−1，同时L=2mL=2^mL=2m；
求h(n)h(n)h(n)的主值序列h^(n)\hat h(n)h^(n)，并计算DFT；
h^(n)={W−n220≤n≤M−1任意值N≤n≤L−1W−(n−L)22L−N+1≤n≤L−1\hat h(n)=\left\{\begin{array}{ll} W^{-\frac{n^2}{2}} & 0\le n \le M-1 \\ \text{任意值} & N \le n \le L-1 \\ W^{-\frac{(n-L)^2}{2}} & L-N+1\le n \le L-1 \end{array}\right.h^(n)=⎩⎨⎧W−2n2任意值W−2(n−L)20≤n≤M−1N≤n≤L−1L−N+1≤n≤L−1
H(k)=DFT[h^(n)],L点H(k)=DFT[\hat h(n)],\ \ L点H(k)=DFT[h^(n)], L点
对x(n)x(n)x(n)加权、补零，并计算DFT；
g(n)={x(n)A−nWn220≤n≤N−10N≤n≤L−1g(n)=\left\{\begin{array}{ll} x(n)A^{-n}W^{\frac{n^2}{2}} & 0\le n \le N-1 \\ 0 & N \le n \le L-1 \end{array}\right.g(n)={x(n)A−nW2n200≤n≤N−1N≤n≤L−1
G(k)=DFT[g(n)],L点G(k)=DFT[g(n)],\ \ L点G(k)=DFT[g(n)], L点
Y(k)=G(k)H(k),L点Y(k)=G(k)H(k),\ \ L点Y(k)=G(k)H(k), L点；
y(n)=IDFT[Y(k)],L点y(n)=IDFT[Y(k)],\ \ L点y(n)=IDFT[Y(k)], L点；
X(zk)=Wk22y(k),0≤k≤M−1X(z_k)=W^{\frac{k^2}{2}}y(k),\ \ 0 \le k \le M-1X(zk)=W2k2y(k), 0≤k≤M−1。

上述步骤实现程序可见Matlab的czt函数内部程序。

仿真分析

此处使用函数czt实现Chirp-Z变换，并将结果与DFT和采样序列插0后序列的DFT进行对比。

clc;clear;close all;
N = 8192;
f1 = 100;
f2 = 101;
fs = 8000;
Ts = 1/fs;
ts = (1:N)*Ts;
x = cos(2*pi*f1*ts) + cos(2*pi*f2*ts) + 0.5*randn(1,N);
y_DFT = abs(fft(x)); %%DFT
w = exp(-1i*2*pi*(150-50)/(N*fs));
a = exp(1i*2*pi*50/fs);
y_CZT = abs(czt(x,N,w,a));%%CZTfn = (0:N-1)/N;
fy = fs*fn;
fz = (150-50)*fn + 50;
fyy = fs*(0:2*N-1)/(2*N);
xx = [x zeros(1,N)];
yy_DFT = abs(fft(xx)); %%插0 DFT
plot(yy_DFT);
plot(fy,20*log10(y_DFT), fz,20*log10(y_CZT), fyy,20*log10(yy_DFT));
xlim([80 120]);
legend('DFT','CZT','插0 DFT');

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