数项级数——（二）正项级数

一.正项级数收敛性的一般判别

同号级数；正项级数；

由于级数与其部分和数列具有相同的敛散性，得如下定理。

定理1.

正项级数 $\sum u_n$ 收敛的充要条件是：部分和数列 $\{S_n\}$ 有界，即存在某正数M，对一切正整数n有 $S_n<M.$

定理2.（比较原则）

设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有 $u_n\leqslant v_n.$ 则

（i）若级数 $\sum v_n$ 收敛，则级数 $\sum u_n$ 也收敛；

（ii）若级数 $\sum u_n$ 发散，则级数 $\sum v_n$ 也发散；

（大收小发）

推论

设

$u_1+u_2+...+u_n+...,(1)$

$v_1+v_2+...+v_n+...,(2)$

是两个正项级数，若 $\lim_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l.$ 则

（i）当 $0<l<+\infty$ 时，级数（1）.（2）同时收敛或同时发散；

（ii）当 $l=0$ 且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；

（iii）当 $l=+\infty$ 且级数（2）发散时，级数（1）也发散；

二.比式判别法和根式判别法

以等比级数作为比较对象而得到的。

定理3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）

设 $\sum u_n$ 为正项级数，且存在某正数 $N_0$ 及常数 $q(0<q<1.)$

（i）若对一切 $n>N_0.$ 成立不等式 $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant q.$ 则级数 $\sum u_n$ 收敛；

（ii）若对一切 $n>N_0.$ 成立不等式 $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1.$ 则级数 $\sum u_n$ 发散；

推论1（比式判别法的极限形式）

若 $\sum u_n$ 为正项级数，且 $\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q.$ 则

（i）当 $q<1$ 时，级数 $\sum u_n$ 收敛；

（ii）当 $q>1$ 或 $q=+\infty$ 时，级数 $\sum u_n$ 发散；

（iii）当 $q=1$ 时，级数 $\sum u_n$ 可能收敛可能发散，无法判断；

推论2

设 $\sum u_n$ 为正项级数.

（i）若 $\overline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1.$ 则级数收敛；（上极限）

（ii）若 $\underline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q>1.$ 则级数发散；（下极限）

定理4（柯西判别法，或称根式判别法）

设 $\sum u_n$ 为正项级数.且存在某正数 $N_0$ 及正常数 $l.$

（i）若对一切 $n>N_0,$ 成立不等式 $\sqrt[n]{u_n}\leqslant l<1,$ 则级数 $\sum u_n$ 收敛；

（ii）若对一切 $n>N_0,$ 成立不等式 $\sqrt[n]{u_n}\geqslant 1,$ 则级数 $\sum u_n$ 发散；

推论1（根式判别法的极限形式）

设 $\sum u_n$ 为正项级数，且 $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=l,$ 则

（i）当 $l<1$ 时，级数 $\sum u_n$ 收敛；

（ii）当 $l>1$ 时，级数 $\sum u_n$ 发散；

（iii）当 $l=1$ 时，级数 $\sum u_n$ 可能收敛可能发散，无法判断；

推论2

设 $\sum u_n$ 为正项级数，且 $\overline{\lim_{n\to \infty}}\sqrt[n]{u_n}=l,$ 则当

（i） $l<1$ 时级数收敛；

（ii） $l>1$ 时级数发散；

结论1：若 $\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q.$ 则必有 $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=q.$

结论2：若 $u_n>0,$ 则 $\underline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant \underline{\lim_{n\to \infty}}\sqrt[n]{u_n}\leqslant \overline{\lim_{n\to \infty}}\sqrt[n]{u_n}\leqslant \overline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}.$

三.积分判别法

积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

定理5

设 $f$ 为 $[1,+\infty)$ 上非负减函数，那么正项级数 $\sum f(n)$ 与反常积分 $\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$ 同时收敛或同时发散。

四.拉贝判别法

比式判别法和根式判别法时基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛的速度快的级数，这两种方法才能鉴定出它的收敛性。如果级数的通项收敛速度较慢，他们就无能为力了，因此为了获得判别范围更大的一类级数，就必须寻找级数的通向收敛于零较慢的级数作为比较标准。

定理6（拉贝判别法）

设 $\sum u_n$ 为正项级数，且存在某正整数 $N_0$ 及常数r，

（i）若对一切 $n>N_0,$ 成立不等式 $n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})\geqslant r>1,$ 则级数 $\sum u_n$ 收敛；

（ii）若对一切 $n>N_0,$ 成立不等式 $n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})\leqslant 1,$ 则级数 $\sum u_n$ 发散；

推论（拉贝判别法的极限形式）

设 $\sum u_n$ 为正项级数，且极限 $\lim_{n\to \infty}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})=r$ 存在，则

（i）当r>1时，级数 $\sum u_n$ 收敛；

（ii）当r<1时，级数 $\sum u_n$ 发散；