待分析命题

设E⊂RnE\subset {{\mathbb{R}}^{n}}E⊂Rn是一个零测集，fff是定义在EEE上的一个非负实值函数，则
f∈L(E)，且∫Ef(x)dx=0.f\in L\left( E \right)，且\int_{E}{f\left( x \right)dx}=0.f∈L(E)，且∫Ef(x)dx=0.

证明过程

首先，由课本P60的例2：零测集上的任意广义实值函数可测，有
非负实值函数f可测。非负实值函数f可测。非负实值函数f可测。
根据课本P63的定理3.6（可测函数逼近定理），存在非负简单函数列{φk}\left\{ {{\varphi }_{k}} \right\}{φk}满足
0≤φ1(x)≤φ2(x)≤⋯≤φk(x)≤φk+1(x)≤⋯,0\le {{\varphi }_{1}}\left( x \right)\le {{\varphi }_{2}}\left( x \right)\le \cdots \le {{\varphi }_{k}}\left( x \right)\le {{\varphi }_{k+1}}\left( x \right)\le \cdots ,0≤φ1(x)≤φ2(x)≤⋯≤φk(x)≤φk+1(x)≤⋯,
使得
lim⁡k→∞φk(x)=f(x),x∈E.\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{k}}\left( x \right)=f\left( x \right),\text{ }x\in E.k→∞limφk(x)=f(x), x∈E.
再根据课本P85的定义4.2，fff在EEE上的积分即为
(L)∫Ef(x)dx=lim⁡k→∞(L)∫Eφk(x)dx.(1)\left( L \right)\int_{E}{f\left( x \right)dx}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( L \right)\int_{E}{{{\varphi }_{k}}\left( x \right)dx}. \tag{1}(L)∫Ef(x)dx=k→∞lim(L)∫Eφk(x)dx.(1)
另一方面，根据博文《实变函数简明教程》（邓东皋，常心怡编），第四章：Lebesgue积分，关于零测集上的任意非负简单函数Lebesgue可积且积分值为0 的证明，我们有
∫Eφk(x)dx=0,∀k.(2)\int_{E}{{{\varphi }_{k}}\left( x \right)dx}=0,\text{ }\forall k. \tag{2}∫Eφk(x)dx=0, ∀k.(2)
由式（1）和式（2），最终可得
(L)∫Ef(x)dx=0，也就有f∈L(E).\left( L \right)\int_{E}{f\left( x \right)dx}=0，也就有f\in L\left( E \right).(L)∫Ef(x)dx=0，也就有f∈L(E).

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