霍尔德（Hölder）不等式

引理

设 p,q>0，1p+1q=1.p,q>0，\frac1p+\frac1q=1.p,q>0，p1+q1=1.则x1py1q≤xp+yq, ∀ x,y≥0,x^{\frac1p}y^{\frac1q} \leq \frac xp+ \frac yq,\;\forall\;x,y\geq 0, xp1yq1≤px+qy,∀x,y≥0,等号仅当 x=yx=yx=y 时成立。

证明：

考察对数函数 log(x)log(x)log(x)，她显然是一个凹函数：log(θx+(1−θ)y)≥θlog(x)+(1−θ)log(y)log(\theta x+(1-\theta)y) \geq \theta log(x) +(1-\theta)log(y) log(θx+(1−θ)y)≥θlog(x)+(1−θ)log(y)取 θ=1p\theta = \frac1pθ=p1，则 1−θ=1q1-\theta = \frac1q1−θ=q1，故log(1px+1qy)≥1plog(x)+1qlog(y)log(\frac1p x+\frac1qy) \geq \frac1p log(x) +\frac1qlog(y) log(p1x+q1y)≥p1log(x)+q1log(y)两边同时去指数，得xp+yq≥x1py1q\frac xp+ \frac yq \geq x^{\frac1p}y^{\frac1q} px+qy≥xp1yq1

Hölder 不等式

对引理中的不等式，做如下替换xi=aip∑j=1najp,  yi=biq∑j=1nbjqx_i = \frac{a_i^p}{\sum_{j=1}^{n}a_j^p},\;\;y_i = \frac{b_i^q}{\sum_{j=1}^{n}b_j^q} xi=∑j=1najpaip,yi=∑j=1nbjqbiq得到 n 个不等式：aibi(∑j=1najp)1p(∑j=1nbjq)1q≤1paip∑j=1najp+1qbiq∑j=1nbjq\frac{a_ib_i}{(\sum_{j=1}^{n}a_j^p)^{\frac1p}(\sum_{j=1}^{n}b_j^q)^{\frac1q}} \leq \frac1p\frac{a_i^p}{\sum_{j=1}^{n}a_j^p}+\frac1q\frac{b_i^q}{\sum_{j=1}^{n}b_j^q} (∑j=1najp)p1(∑j=1nbjq)q1aibi≤p1∑j=1najpaip+q1∑j=1nbjqbiq将上式两边对 i=1,2,⋅⋅⋅,ni=1,2,···,ni=1,2,⋅⋅⋅,n 求和，就得到∑i=1naibi(∑j=1najp)1p(∑j=1nbjq)1q≤1p+1q=1,\frac{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}{(\sum_{j=1}^{n}a_j^p)^{\frac1p}(\sum_{j=1}^{n}b_j^q)^{\frac1q}} \leq \frac1p+\frac1q = 1, (∑j=1najp)p1(∑j=1nbjq)q1∑i=1naibi≤p1+q1=1,⇒∑i=1naibi≤(∑j=1najp)1p(∑j=1nbjq)1q\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}a_ib_i \leq (\sum_{j=1}^{n}a_j^p)^{\frac1p}(\sum_{j=1}^{n}b_j^q)^{\frac1q} ⇒i=1∑naibi≤(j=1∑najp)p1(j=1∑nbjq)q1
上式要求 ai,bi≥0a_i,b_i \geq 0ai,bi≥0。否则，需要给等式右端的 ai,bia_i,b_iai,bi 加上绝对值，得到如下不等式： aTb≤∣∣a∣∣p∣∣b∣∣qa^Tb \leq ||a||_p||b||_q aTb≤∣∣a∣∣p∣∣b∣∣q事实上，∣∣⋅∣∣q||·||_q∣∣⋅∣∣q正是∣∣⋅∣∣p||·||_p∣∣⋅∣∣p的对偶范数。

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