1.一维前缀和

目的：

设有一n项数组a,求 $\sum_{i=l}^{r} a_{i}$

调用时只用O(1),预处理O(n)

做法：

1.定义数组pre, $pre_j=\sum_{i=1}^j a_i$

这样就可以计算了:如：l=4,r=6

PS:是pre[r]-pre[l+1]

是pre[r]-pre[l+1]

重要的事情说三遍

Problem

求 $pre_{i}$ 要O(i)-->就算是O(n)

那球 pre 就要…… $O(n^{2})$

那还是不满足要求

那……
pre[i]=pre[i-1]+a[i]

后缀和

$rsum_j=\sum_{i=j}^n a_i$

用法：见后文

rsum存值的伪代码：

for(i=n~1) rsum[i]=rsum[i+1]+a[i]

Description

需要实现一个可以快速求数列区间和的程序，你也来试试吧！

Format

Input

第一行输入两个正整数 n(1<n< $10^{6}$ )和 m(1<m < $10^{6}$ )。

第二行连续输入 nn个 int 型整数，用 1 个空格隔开。

接着连续 m 行，每行两个正整数 x,y，用 1 个空格隔开，表示一次询问，[x,y] 区间内的元素和是多少。

Output

输出共 m 行，每行 1 个整数，表示该数列在对应区间 [x,y] 范围内的元素之和（保证在long long 的范围内）。

Samples

输入数据 1
5 3
9 1 2 0 6
2 4
1 3
2 5
输出数据 1
3
12
9

伪代码：

//只写main
输入
for(i=1~n) pre[i]=pre[i-1]+a[i];
for(i=1~m){输入输出pre[r]-pre[l-1]
}

#include <cstdio>
const int N=1e6+7;
long long a[N];
int main(){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",a+i);a[i]+=a[i-1];}for (int i=1,l,r;i<=m;++i){scanf("%d%d",&l,&r);printf("%lld\n",a[r]-a[l-1]);}return 0;
}

此代码a直接pre用了

注意点(我原来没过的原因)：

1).long long的问题

2).n,m< $10^{6}$ ,不能用 cin & cout

以为前缀和的就这么简单？NO,魅力无穷！

这只是基本运用！

再来看一道题目

轩轩和凯凯正在玩一款叫《龙虎斗》的游戏，游戏的棋盘是一条线段，线段上有 n 个兵营（自左至右编号 $1\le i \le n$ ，相邻编号的兵营之间相隔 1 厘米，即棋盘为长度为 n-1 厘米的线段。i 号兵营里有位工兵。下图为 n=6 的示例：

轩轩在左侧，代表“龙”；凯凯在右侧，代表“虎”。他们以 m 号兵营作为分界，靠左的工兵属于龙势力，靠右的工兵属于虎势力，而第 m 号兵营中的工兵很纠结，他们不属于任何一方。

一个兵营的气势为：该兵营中的工兵数= 该兵营到 $\times$ m 号兵营的距离；参与游戏一方的势力定义为：属于这一方所有兵营的气势之和。下图为n=6,m=4 的示例，其中红色为龙方，黄色为虎方：

设 m=4 :

龙： $1\times (4-1)+2\times (4-2)+3\times(4-3)=10$

虎： $5\times(5-4)+6\times(6-4)=17$

现在告诉你每一个兵营的工兵数量，请你设定分界兵营，使龙虎的总战斗力差值最小。请求出这个差值。

【输入格式】

第一行一个整数 n。

第二行 n 个整数

【输出格式】

一个整数表示答案。

【输入输出样例#1】

输入#1
5
1 2 3 4 5
输出#1
5
【输入输出样例#2】

输入#2
10
1 7 5 4 2 3 5 7 8 9
输出#2
21
【数据范围】

对于 100% 数据：1 $\le$ n $\le$ $10^{5}$ , $0\le a_i \le 10^9$ 。

一看，一个字：“懵”，没思路啊！

注释：
此处pre与ls的意思一样

思路：

龙： $\sum _{i=1}^m pre_i$

懂了吧！

虎和前缀和一样的意思，此处不展示

然后还是 $O(n^2)$ 啊

对了，定一个数组是前缀和的前缀和就ok了,(还有后缀和的后缀和)

其实这题可以只用一次前缀和&后缀和，是定义l=0,r= $\sum_{i=1}^n rs_i$

然后每次 l+ $ls_i$ ,r- $rs_i$ ，此处就不展示了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 101000
#define int long long
int n,val[N],ls[N],rs[N],lss[N],rss[N];
signed main() {cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i) cin>>val[i];for(int i=1;i<=n;++i) ls[i]=ls[i-1]+val[i];for(int i=n;i>=1;--i) rs[i]=rs[i+1]+val[i];for(int i=1;i<=n;++i) lss[i]=lss[i-1]+ls[i];for(int i=n;i>=1;--i) rss[i]=rss[i+1]+rs[i];int ans=1e18;for(int i=1;i<=n;++i)ans=min(ans,abs(lss[i-1]-rss[i+1]));cout<<ans;return 0;
}

现在前缀和也知道了，后缀和也知道了，把前缀积与后缀积说一下

$pre_i=a_1 \times a_2 \times a_3 \times......a_i$

储存方法

前缀积
pre[0]=1;//重中之重，否则全0
for(i=1~n) pre[i]=pre[i-1]*a[i];
后缀积
rs[n+1]=1//重中之重，否则全0
for(i=n~1) rs[i]=rs[i+1]*a[i];

2.差分

目标：

$a_l,a_{l+1},......,a_r,$ 每个值都加 x

调用O(1),最后加一个O(n)

很玄幻的东西，做法

1.每次 s[l]+=x,s[r+1]-=x

2.做前缀和

记得要加上原来的值

但别原来在a上改，因为要做前缀和

这个不难，就放一道例题

Background

学会了前缀和以后，小 J 想通过前缀和算法解锁一些新技能。

现在，他想对一个整数序列进行一系列的区间加减，求出调整后的序列。

Description

例如：对于 5 个元素的序列 9 1 2 5 3，将 [2, 4] 区间的所有数都加上 2，再将 [1, 4] 区间的所有数加上 5，再将 [4, 5] 区间的所有数减去 2，得到的序列是14 8 9 10 1。

这样的代码该怎么写呢？

Format

Input

第一行输入两个正整数 n( $1\le n\le10^6$ ),m( $1\le m\le10^6$ )。

第二行连续输入 nn 个整数。

接下来连续输入 m 行，每行 3 个整数 l,r,x(0<l≤r≤n, $-10^6\le x \le 10^6$ )，表示对 [l,r] 区间的所有数都加上一个 x。

Output

输出 1 行 n个整数，是经过调整后的序列。

Samples

输入数据
5 3
9 1 2 5 3
2 4 2
1 4 5
4 5 -2
输出数据
14 8 9 10 1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+7;
typedef long long ll;
ll a[N],s[N],pre[N];
int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",a+i);for (int i=1,a,b,c;i<=m;++i){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);s[a]=c,s[b+1]=-c;//差分}for(int i=1;i<=n;++i){pre[i]=pre[i-1]+s[i];a[i]+=pre[i];//前缀和}for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",a[i]);return 0;
}

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前缀和和差分（1维）

1.一维前缀和

Description

Format

Input

Output

Samples

输入数据 1

输出数据 1

伪代码：

2.差分

Background

Description

Format

Input

Output

Samples

输入数据

输出数据

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