启发式合并详解（基于CF 1620E

前言：
这是Educational Codeforces Round 119 (Rated for Div. 2)的第五题，
这个题我最开始使用从后往前的方法写的，复杂度 O(n)O(n)O(n)。
交完以后我看看了题解，题解提供了两种办法，第二种是用启发式合并（英文名叫 small to large method），看到这我别提有多激动了，因为自从学了启发式合并以后一直没有找到适合练手的题目。
那我就通过这个题来好好梳理一下启发式合并吧。

例题题面：
You have an array of integers (initially empty).

You have to perform q queries. Each query is of one of two types:

“1 x” — add the element x to the end of the array;
“2 x y” — replace all occurrences of x in the array with y.
Find the resulting array after performing all the queries.

Input
The first line contains a single integer q (1≤q≤5⋅105) — the number of queries.

Next q lines contain queries (one per line). Each query is of one of two types:

“1 x” (1≤x≤5⋅105);
“2 x y” (1≤x,y≤5⋅105).
It’s guaranteed that there is at least one query of the first type.

Output
In a single line, print k integers — the resulting array after performing all the queries, where k is the number of queries of the first type.

啥是启发式合并
启发式合并，就是高效的、从小到大的合并。它给人的直接感觉很弱，不像线段树什么的能让你瞬间体会到算法的精妙性。实际上，启发式合并可以将很多n2n^2n2的复杂度降级为nlognnlognnlogn，如果敏锐地洞察出一个题可以启发式合并，我们的算法性能将得到极大的提升。

启发式合并怎么做
以此题为例，我们为每个数开一个线性表（最好用vector）。执行操作111时，若x是第n个追加的元素，则将n放入第xxx个线性表（也就是说一个线性表里面装了这个值出现的所有位置）。执行操作222时，我们要将x出现的位置改为yyy，也就是要把第xxx个线性表全部倒入第yyy个线性表。如果暴力来处理的话，必定会超时。那么怎么优化呢？这里无非是对两个线性表的一个合并，我们利用启发式合并的策略，将较小的那个线性表倒入较大的线性表即可（此处的大小指元素个数）。合并完之后，如果表名不一致颠到，交换一下即可（vector的交换机制是改指针，所以复杂度是O（1）O（1）O（1）的）。需要注意的是，当x=yx=yx=y时，应当直接跳过。

启发式合并的复杂度
本算法的主要时间消耗在于合并两个线性表（或者说是集合）。
每次合并操作，我们都将小集合倒入大集合，只有小集合中的元素发生了移动，而且最终集合的大小至少是小集合的两倍。
假设aaa被移动了bbb次，也就是说aaa所在的集合的大小发生了b次倍增（有可能比倍增还大）。所以n>=2bn>=2^bn>=2b，也就是说b<=lognb<=lognb<=logn。
因此所有元素移动的总次数是nlognnlognnlogn。
仔细阅读我们发现，在推导这个复杂度的时候，我们分析的是移动次数最多的那个元素的最多移动次数，所以这个算法的效率往往比我们预期的还要快很多。

例题代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;vector<int>v[500010];
int a[500010];
signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int q,num=0;cin>>q;while(q--){int op,x,y;cin>>op;if(op==1){cin>>x;v[x].push_back(++num);}else{cin>>x>>y;if(x==y) continue;if(v[x].size()>v[y].size()){for(auto i:v[y]){v[x].push_back(i);}v[y].clear();swap(v[x],v[y]);}else{for(auto i:v[x]){v[y].push_back(i); }v[x].clear();}}} for(int i=1;i<=500000;i++){for(auto j:v[i]){a[j]=i;}}for(int i=1;i<=num;i++){cout<<a[i]<<' ';}cout<<endl;return 0;
}

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