带花树算法

带花树？错了，是开花算法（Blossom Algorithm\text{Blossom Algorithm}Blossom Algorithm）。

在维基百科上有漂亮的图片。OI-wiki\text{OI-wiki}OI-wiki 中也是使用的这些图片。

在 CF\rm CFCF 的帖子里有很好的叙述，可供参考。

称邻边都未匹配的点为 exposed\rm exposedexposed，裸露的。首先，最大匹配等价于图中没有增广路，其中增广路是两个端点都 exposed\rm exposedexposed 且路径上的边的匹配情况交错。并且增广不会让之前不能增广的裸露点变得可增广，否则两条增广路的对称差（的俩连通块之一）是原本就可行的增广路。

因此我们可以从每个裸露点开始，找增广路。走增广路过程中走出的奇环被称作花（blossom\text{blossom}blossom）。花上没有裸露点，且仅有一个点的两条环上邻边都未匹配，称为花心。那么所有经过花的增广路必然经过花心。而且，花心到花上点有两种走法，必有其中之一能使得路径交错。因此花可以被 contract\rm contractcontract 。

缩 blossom\rm blossomblossom 会嵌套；没有花时，图是二部图，增广路可以求解。

难点大概在于，怎样得到原图上的增广路。精细实现的复杂度应该可以做到 O(n3)\mathcal O(n^3)O(n3)，但因为我没实现过，所以我也不清楚。

线性代数做法

可见 CF\rm CFCF 帖子的评论区，和 201720172017 年论文《基于线性代数的一般图匹配》。引入 Tutte\text{Tutte}Tutte 矩阵 A~(G)\tilde A(G)A~(G) 满足
A~i,j={xi,jei,j(i<j)0(i=j)−xj,iej,i(j<i)\tilde A_{i,j}=\begin{cases} x_{i,j}e_{i,j} &(i<j)\\ 0 &(i=j)\\ -x_{j,i}e_{j,i} &(j<i) \end{cases} A~i,j=⎩⎨⎧xi,jei,j0−xj,iej,i(i<j)(i=j)(j<i)

其中 ei,je_{i,j}ei,j 表示 i,ji,ji,j 之间是否有连边，而 xi,jx_{i,j}xi,j 是形式变元。

动机是 det⁡A~≠0\det\tilde A\ne 0detA~=0 足以说明图中有完美匹配。因为行列式的定义相当于作环覆盖，存在奇环时，将环反向可以使值抵消；不存在奇环时，可以构造出匹配。

判定 det⁡A~≠0\det\tilde A\ne 0detA~=0 利用随机化赋值，根据 Schwartz–Zippel\text{Schwartz–Zippel}Schwartz–Zippel 引理，错误的概率不超过 deg⁡det⁡A~p=O(np){\deg\det\tilde A\over p}=\mathcal O({n\over p})pdegdetA~=O(pn) 可以接受，其中 Fp\mathbb{F}_pFp 为随机范围。

考虑最大匹配。只需找出列 rank\rm rankrank，因为这些位置构成的主子式非零（别忘了 A~\tilde AA~ 是 斜对称 的）。所以，求最大匹配的值，已经有了 O(nω)\mathcal O(n^\omega)O(nω) 的做法。

Comment. 其中 O(nω)\mathcal O(n^\omega)O(nω) 表示矩阵乘法 /// 消元的复杂度。

Remark. 消元可以和矩阵乘法做到相同复杂度，但不是高斯消元。而且具体实现我也不会，据称巨复杂。所以我们也可以不管它

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