lightoj 1098 A New Function 约数之和(一道奇怪的数论) 整除分块优化

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题目如下:
思考人生:

题目如下:

lightoj 1098 A New Function
求1-n所有数的所有约数之和(不包括1和它本身).n<=2e9.

思考人生:

首先考虑打表找规律.规律并不是这么好找的.我们暂时放弃.
如果直接暴力去跑,是 O ( n × n ) O(n\times \sqrt{n}) O(n×n ) 的.
那么我们从另一个方向考虑.

/*
我们不从每一个数有多少约数考虑,而是从每一个数是多少个数的约数这个方向考虑,略加思考,可以得到O(n)的做法.
*/
int main(){ll n,llx=0;//llx=ans
for (int i=2;i<=n;++i){llx+=(n/i-1)*i;//n/i是1-n里有多少个数是它的倍数,-1是因为n/i包括i,而i的因子和是不算i的.}write(llx);
}

那么还有什么办法可以优化呢?
剩下了上面说的整除分块!
所以这到底是一种什么样的优化呢?我们来思考一下.

你会发现,当n变大以后,有很多数字i的n/i-1的值是完全一样的.
我们可以发现这些数算的时候值*i变成了一个等差数列,对于这些数我们可以用一个等差数列求和公式搞定它.
但是当n特别小的时候,n/i的值变化特别大,我们不如直接用上面的O(n)方法枚举.
这当中找一个平衡,显然可以看出取到sqrt(n)是最优的.
这样就有了如下代码.

#pragma GCC optimize("inline,Ofast",3)
#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
namespace chtholly{typedef long long ll;
#define re0 register int
#define rec register char
#define rel register ll
#define gc getchar
#define pc putchar
#define p32 pc(' ')
#define pl puts("")
/*By Citrus*/
inline int read(){int x=0,f=1;char c=gc();for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-';for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');return f?x:-x;}
template <typename mitsuha>
inline bool read(mitsuha &x){x=0;int f=1;char c=gc();for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-';if (!~c) return 0;for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');return x=f?x:-x,1;}
template <typename mitsuha>
inline int write(mitsuha x){if (!x) return 0&pc(48);if (x<0) x=-x,pc('-');int bit[20],i,p=0;for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10;for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48);return 0;}
inline char fuhao(){char c=gc();for (;isspace(c);c=gc());return c;}
}using namespace chtholly;
using namespace std;
ll n,llx;int main(){for (int t=read(),zxy=0,i;t--;){read(n),llx=0;int pos;for (i=1;i*i<=n;++i){int now=n/i;pos=n/(i+1);llx+=1ll*(now+pos+1)*(i-1)*(now-pos)>>1;//等差数列求和,now+pos+1是首项+末项,now-pos是项数,i-1是因为不能自己的约数不能加自己.不要忘记除以二.}for (i=2;i<=pos;++i) llx+=1ll*(n/i-1)*i;//暴力从2-n/(sqrt(n)+1)跑.printf("Case %d: ",++zxy);write(!n?0:llx),pl;//最后加一个特判0.}
}
/*
1:0
2:0
3:0
4:2
5:2
6:7
7:7
8:13
9:16
10:23
11:23
12:38
13:38
14:47
15:55
16:69
17:69
18:89
19:89
20:110
21:120
22:133
23:133
24:168
25:173
26:188
27:200
28:227
29:227
30:268
31:268
32:298
33:312
34:331
35:343
36:397
37:397
38:418
39:434
40:483
41:483
42:536
43:536
44:575
45:607
46:632
47:632
48:707
49:714
50:756
51:776
52:821
53:821
54:886
55:902
56:965
57:987
58:1018
59:1018
60:1125
61:1125
62:1158
63:1198
64:1260
65:1278
66:1355
67:1355
68:1412
69:1438
70:1511
71:1511
72:1633
73:1633
74:1672
75:1720
76:1783
77:1801
78:1890
79:1890
80:1995
81:2034
82:2077
83:2077
84:2216
85:2238
86:2283
87:2315
88:2406
89:2406
90:2549
91:2569
92:2644
93:2678
94:2727
95:2751
96:2906
97:2906
98:2978
99:3034
100:3150
*/

分块优化不愧是一个奇技淫巧.谢谢大家.

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