前言

流体模拟的研究学习博客中，我先阐述流体模拟的数学方法，再阐述流体模拟引擎splishsplash的架构和实现，使用方法。

物理仿真是视觉计算中的一个重要研究课题。它具有许多应用，包括虚拟原型，培训模拟器，机器人，用于数字制作的动画软件，包括电影和动画电影中的视觉效果以及计算机游戏。

我希望这些示例及其文档能帮助您了解仿真方法。随意在您自己的课题中使用这些示例。

粒子系统

简单粒子系统的实现步骤: 除去使用寿命>最长使用寿命的颗粒
通过发射器生成新粒子
计算所有粒子的力
时间积分以获得新的粒子位置和速度

去除使用寿命>最长使用寿命的颗粒
生成粒子时，每个粒子的生存期设置为 0。在每个仿真步骤中，寿命会随着时间步长的增加而增加δ吨.当粒子的生存时间大于预定义的最大生存期时，将从模拟中删除该粒子。生存期可用于渲染效果。在我们的例子中，透明度根据颗粒淡出的使用寿命而增加。
发射器生成新粒子
在每个仿真步骤中，都会在发射器的位置生成新的粒子。通常，它们使用一些预定义的值进行初始化，有时还会添加一些随机值以获得更自然的结果。

在我们的模拟中，粒子以朝上的速度生成。此外，x和y方向的速度由一些随机值修改。
计算所有粒子的力
在每个步骤中，确定粒子的力，例如重力，风等。在我们的简单示例中，仅应用重力
粒子关于时间t的积分公式包括速度v，位移x，旋转角度α，已知粒子质量m与角速度ω
V(t+Δt)=V(t)+ΔtmV(t+\Delta t)=V(t)+\frac{\Delta t}{m}V(t+Δt)=V(t)+mΔtX(t+Δt)=X(t)+ΔtV(t+Δt)X(t+\Delta t)=X(t)+\Delta tV(t+\Delta t)X(t+Δt)=X(t)+ΔtV(t+Δt)α(t+Δt)=α(t)+Δtω\alpha(t+\Delta t)=\alpha(t)+\Delta t\omega α(t+Δt)=α(t)+Δtω

基础数学

狄拉克函数

δ(r)={∞r= 00otherwise d\delta(r) = \begin{cases} ∞ &\text{r= } 0 \cr 0 &\text{otherwise } d \end{cases}δ(r)={∞0r= 0otherwise d
Dirac−δfunction称狄拉克函数，通常用于表示质点。质点只有距离刚好相等时才会出现反应，在该函数中r=0不一定是无穷大，也可以是一个常数，此外如果函数在r≠0的常数点取无穷（或常数）时表示为
δ(r−r0)={∞r= r00otherwise d\delta(r-r_0) = \begin{cases} ∞ &\text{r= } r_0 \cr 0 &\text{otherwise } d \end{cases}δ(r−r0)={∞0r= r0otherwise d

狄拉克恒等式

A(x)=(A∗δ)(x)=∫RdA(x′)δ(x−x′)dvA(x)=(A*\delta) (x)=\int_{R^d}{A (x')\delta(x-x')dv}A(x)=(A∗δ)(x)=∫RdA(x′)δ(x−x′)dv
根据狄拉克恒等式，我们可以选择一个核函数W(x)则有：
W(x)≈(W∗δ)(x)W(x)\approx(W*\delta) (x)W(x)≈(W∗δ)(x)

其中Rd是高斯核，对于高斯核N满足以下等式，图为推导

核函数W(x)的性质

实际使用较少，需要时查表自取。

通过核函数逼近（泰勒展开式）

(A∗W)(x)=∫[A(x)+∇A∣x⋅(x′−x)+∇∇12(x′−x)+O(∥r∥3)]W(x−x′,h)dv′(A*W) (x)=\int{[A(x)+\nabla A\vert_x·(x'-x)+\nabla\nabla\frac{1}{2}(x'-x)+\Omicron(\lVert r \rVert^3)]W(x-x',h)dv'}(A∗W)(x)=∫[A(x)+∇A∣x⋅(x′−x)+∇∇21(x′−x)+O(∥r∥3)]W(x−x′,h)dv′
=A(x)∫W(x−x′)dv′+∇A∣x∫⋅(x′−x)W(x−x′)dv′+O(∥r∥2)=A(x)\int W(x-x')dv'+ \nabla A\vert_x \int ·(x'-x)W(x-x')dv'+\Omicron(\lVert r \rVert^2)=A(x)∫W(x−x′)dv′+∇A∣x∫⋅(x′−x)W(x−x′)dv′+O(∥r∥2)
这个积分式的结果可以表示为
(A∗W)(xi)=∫A(x′)ρ(x′)W(xi−x′,h)ρ(x′)dv′⏟dm’(A*W) (x_i)=\int \frac{A(x')}{\rho(x')}W(x_i-x',h)\underbrace{\rho(x')dv'}_{\text{dm'}}(A∗W)(xi)=∫ρ(x′)A(x′)W(xi−x′,h)dm’ρ(x′)dv′
(A∗W)(xi)≈∑j∈FAjmjρjW(xi−xj,h)=<A(xi)>(A*W) (x_i)\approx\sum_{\substack{j\in F}} A_j \frac {m_j}{\rho_j}W(x_i-x_j,h)= <A(x_i)> (A∗W)(xi)≈j∈F∑AjρjmjW(xi−xj,h)=<A(xi)>

流体模拟引擎splishsplash 数学方法相关推荐

SPH（光滑粒子流体动力学）流体模拟实现二：SPH算法（1）-数学原理
流体模拟(二) SPH算法的数学原理: 标量场和矢量场如果空间区域内任意一点P,都有一个确定的数f(P),则称这个空间区域内确定了一个标量场,如果空间区域内任意一点P,都有一个确定的向量vF(P), ...
图形学笔记（二十）粒子、刚体、流体的模拟—— 欧拉方法、Errors 和 Instability、中点法、自适应步长、隐式欧拉方法、Runge-Kutta方法、刚体与流体模拟（质点法、网格法、MPM）
图形学笔记(十九)粒子.刚体.流体的模拟-- 欧拉方法.Errors 和 Instability.中点法.自适应步长.隐式欧拉方法.Runge-Kutta方法.刚体与流体模拟(质点法.网格法.MPM) ...
Chango的数学Shader世界（九）流体模拟-散度，梯度，二阶导与拉普拉斯
目的: 参考<GPU Gems>,在UE4中尝试重现2D流体模拟. 本节试图结合场论知识粗略理解Navier–Stokes equations. 参考: <GPU Gems> ...
[计算机图形学]动画与模拟：欧拉方法、刚体与流体(前瞻预习/复习回顾)
一.前言这是本专栏的倒数第二篇文章了,为什么不是最后一篇?因为我要单独写一篇总结哈哈,不管怎么说,从今年的3.13的MVP变换开始写,写到现在,也是一个很大的工程了,我很高兴能在大二下学期的期中这个 ...
SPH（光滑粒子流体动力学）流体模拟实现二：SPH算法（4）-算法实现1
流体模拟(二) SPH算法实现1: 由于我们计算每个粒子的状态时,都需要获得在它光滑核半径内(邻域内)的所有粒子信息.我们如果遍历每个粒子,计算欧式距离的话,那开销就过于庞大了.因此我们可以将我们的空 ...
【计算机图形学】流体模拟渲染基础
流体模拟渲染基础前言矢量微积分 Naiver-Stokes偏微分方程组 N-S方程的分步求解对流算法前言本文主要参考文献<FLUID SIMULATION SIGGRAPH 200 ...
Python3破冰人工智能，你需要掌握一些数学方法
为什么要把数学建模与当今火热的人工智能放在一起? 首先,数学建模在字面上可以分解成数学+建模,即运用统计学.线性代数和积分学等数学知识,构建算法模型,通过模型来解决问题.数学建模往往是没有对与错,只有 ...
不用任何数学方法，如何计算圆面积
本文转载自机器之心公众号,作者:Andre Ye,由机器之心编译.特此感谢! 杀鸡用牛刀,我们用机器学习方法来算圆的面积. 询问任何人圆的面积是多少,他们都会告诉你不就是????r²吗.但如果你问他们 ...
机器学习实现计算不规则图形面积_不用任何数学方法，如何计算圆面积
杀鸡用牛刀,我们用机器学习方法来算圆的面积. 询问任何人圆的面积是多少,他们都会告诉你不就是r²吗.但如果你问他们为什么,他们很可能并不知道. 这是因为圆的面积公式的证明在大多数情况下要么不直观,不令 ...

流体模拟引擎splishsplash 数学方法

文章目录

前言