作者：董文辉

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本文为你总结常见损失函数和评价指标。

目录

• 一、损失函数

• • 1.1 回归问题

  • 1.2 分类问题

• 二、评价指标

• • 2.1 回归问题

  • 2.2 分类问题

• 参考资料

一、损失函数

1.1 回归问题

1. 平方损失函数（最小二乘法）：

回归问题中常用的损失函数，在线性回归中，可以通过极大似然估计（MLE）推导。计算的是预测值与真实值之间距离的平方和。实际更常用的是均方误差（Mean Squared Error-MSE）：

2. 平均绝对值误差（L1）-- MAE：

MAE是目标值和预测值之差的绝对值之和，可以用来衡量预测值和真实值的距离。但是它不能给出，模型的预测值是比真实值小还是大。

3. MAE（L1） VS MSE（L2）：

• MSE计算简便，但MAE对异常点有更好的鲁棒性：当数据中存在异常点时，用MSE/RMSE计算损失的模型会以牺牲了其他样本的误差为代价，朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。

直观上可以这样理解：如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值，那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE，那么这个值，则会是所有样本点目标值的中位数。众所周知，对异常值而言，中位数比均值更加鲁棒，因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。

• NN中MAE更新梯度始终相同，而MSE则不同：MSE损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。

• Loss选择建议：

• • MSE：如果异常点代表在商业中很重要的异常情况，并且需要被检测出来

  • MAE：如果只把异常值当作受损数据

4. Huber损失：

Huber损失是绝对误差，只是在误差很小时，就变为平方误差。

• 当Huber损失在 之间时，等价为MSE

• 在 和 时等价为MAE

使用MAE训练神经网络最大的一个问题就是不变的大梯度，这可能导致在使用梯度下降快要结束时，错过了最小点。而对于MSE，梯度会随着损失的减小而减小，使结果更加精确。在这种情况下，Huber损失就非常有用。它会由于梯度的减小而落在最小值附近。比起MSE，它对异常点更加鲁棒。因此，Huber损失结合了MSE和MAE的优点。但是，Huber损失的问题是我们可能需要不断调整超参数delta。

下图是Huber跟随 的变化曲线。当 很大时，等价为MSE曲线，当 很小时，等价为MAE曲线。

1.2 分类问题：

1. LogLoss：

二分类任务中常用的损失函数，在LR中，通过对似然函数取对数得到。也就是交叉熵损失函数。

2. 指数损失函数：

在AdaBoost中用到的损失函数。它是前向分步加法算法的特例，是一个加和模型。在Adaboost中，经过m此迭代之后，可以得到 :

Adaboost每次迭代时的目的是为了找到最小化下列式子时的参数α 和G：

而指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下

可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：

二、评价指标

如何评估机器学习算法模型是任何项目中一个非常重要的环节。分类问题一般会选择准确率（Accuracy）或者AUC作为metric，回归问题使用MSE，但这些指标并不足以评判一个模型的好坏，接下来的内容我将尽可能包括各个评价指标。因为损失函数大部分可以直接作为评价指标，所以损失函数中出现过的简单介绍。

2.1 回归问题

1. MAE：平均绝对误差（Mean Absolute Error），范围

2. MSE：均方误差（Mean Square Error），范围

3. RMSE：根均方误差（Root Mean Square Error），范围

取均方误差的平方根可以使得量纲一致，这对于描述和表示是有意义的。

4. MAPE：平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error）

注意点：当真实值有数据等于0时，存在分母0除问题，该公式不可用！

5. SMAPE：对称平均绝对百分比误差（Symmetric Mean Absolute Percentage Error）

注意点：真实值、预测值均等于0时，存在分母为0，该公式不可用！

6. R Squared:

即决定系数（Coefficient of determination），被人们称为最好的衡量线性回归法的指标。

如果我们使用同一个算法模型，解决不同的问题，由于不同的数据集的量纲不同，MSE、RMSE等指标不能体现此模型针对不同问题所表现的优劣，也就无法判断模型更适合预测哪个问题。 得到的性能度量都在[0, 1]之间，可以判断此模型更适合预测哪个问题。

公式的理解：

1. 分母代表baseline（平均值）的误差，分子代表模型的预测结果产生的误差；

2. 预测结果越大越好， 为1说明完美拟合， 为0说明和baseline一致；

7. 代码实现：

# coding=utf-8
import numpy as np
from sklearn import metrics
from sklearn.metrics import r2_score# MAPE和SMAPE需要自己实现
def mape(y_true, y_pred):return np.mean(np.abs((y_pred - y_true) / y_true)) * 100def smape(y_true, y_pred):return 2.0 * np.mean(np.abs(y_pred - y_true) / (np.abs(y_pred) + np.abs(y_true))) * 100y_true = np.array([1.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 5.0, -3.0])
y_pred = np.array([1.0, 4.5, 3.5, 5.0, 8.0, 4.5, 1.0])# MSE
print(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)) # 8.107142857142858
# RMSE
print(np.sqrt(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred))) # 2.847304489713536
# MAE
print(metrics.mean_absolute_error(y_true, y_pred)) # 1.9285714285714286
# MAPE
print(mape(y_true, y_pred)) # 76.07142857142858
# SMAPE
print(smape(y_true, y_pred)) # 57.76942355889724
# R Squared
print(r2_score(y_true, y_pred))

2.2 分类问题

0. Confusion Matrix（混淆矩阵）：

混淆矩阵一般不直接作为模型的评价指标，但是他是后续多个指标的基础。以下为二分类的混淆矩阵，多分类的混淆矩阵和这个类似。

	预测正例	预测反例
真实正例	TP（真正例）	FN（假反例）
真实反例	FP（假正例）	TN（真反例）

我们训练模型的目的是为了降低FP和FN。很难说什么时候降低FP，什么时候降低FN。基于我们不同的需求，来决定降低FP还是FN。

• 降低假负数例（FN）：假设在一个癌症检测问题中，每100个人中就有5个人患有癌症。在这种情况下，即使是一个非常差的模型也可以为我们提供95％的准确度。但是，为了捕获所有癌症病例，当一个人实际上没有患癌症时，我们可能最终将其归类为癌症。因为它比不识别为癌症患者的危险要小，因为我们可以进一步检查。但是，错过癌症患者将是一个巨大的错误，因为不会对其进行进一步检查。

• 降低假正例（FP）：假设在垃圾邮件分类任务中，垃圾邮件为正样本。如果我们收到一个正常的邮件，比如某个公司或学校的offer，模型却识别为垃圾邮件（FP），那将损失非常大。所以在这种任务中，需要尽可能降低假正例。

1. Accuracy（准确率）：

准确率也就是在所有样本中，有多少样本被预测正确。

当样本类别均衡时，Accuracy是一个很好的指标。

但在样本不平衡的情况下，产生效果较差。假设我们的训练数据中只有2%的正样本，98%的负样本，那么如果模型全部预测为负样本，准确率便是98%,。分类的准确率指标很高，会给我们一种模型很好的假象。

2. Precision（精准率）：

含义：预测为正例的样本中有多少实际为正；

3. Recall（召回率）：

含义：实际为正例的样本有多少被预测为正；

4. P-R曲线：

通过选择不同的阈值，得到Recall和Precision，以Recall为横坐标，Precision为纵坐标得到的曲线图。

PR曲线性质：

• 如果一个学习器的P-R曲线被另一个学习器的曲线完全包住，后者性能优于前者;

• 如果两个学习器的曲线相交，可以通过平衡点（如上图所示）来度量性能；

• 阈值下降：

• • Recall：不断增加，因为越来越多的样本被划分为正例，假设阈值为0.，全都划分为正样本了，此时recall为1；

  • Precision：正例被判为正例的变多，但负例被判为正例的也变多了，因此precision会振荡下降，不是严格递减；

• 如果有个划分点可以把正负样本完全区分开，那么P-R曲线面积是1*1；

5.  （加权调和平均）和  （调和平均）:

• ：召回率（Recall）影响更大，eg.

• ：精确率（Precision）影响更大，eg.

为1的时候得到 ：

调和平均亦可推出：

6. ROC-AUC：

Area Under Curve(AUC) 是二分类问题中使用非常广泛的一个评价指标。AUC的本质是，任取一个正样本和负样本，模型输出正样本的值大于负样本值的概率。构成AUC的两个基本指标是假正例率和真正例率。

• 横轴-假正例率： 实际为负的样本多少被预测为正；

• 纵轴-真正例率： 实际为正的样本多少被预测为正；

TPR和FPR的范围均是[0,1]，通过选择不同的阈值得到TPR和FPR，然后绘制ROC曲线。

曲线性质：

1. 阈值最大时，对应坐标点为(0,0),阈值最小时，对应坐标点(1,1)；

2. ROC曲线越靠近左上角，该分类器的性能越好；

3. 对角线表示一个随机猜测分类器；

4. 若一个学习器的ROC曲线被另一个学习器的曲线完全包住，后者性能优于前者；

AUC： ROC曲线下的面积为AUC值。

7. 代码实现：

from sklearn.metrics import accuracy_score,precision_score,recall_score,f1_score,fbeta_score
y_test = [1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0]y_pred = [1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0]
print("准确率为:{0:%}".format(accuracy_score(y_test, y_pred)))print("精确率为:{0:%}".format(precision_score(y_test, y_pred)))print("召回率为:{0:%}".format(recall_score(y_test, y_pred)))print("F1分数为:{0:%}".format(f1_score(y_test, y_pred)))print("Fbeta为:{0:%}".format(fbeta_score(y_test, y_pred,beta =1.2)))

参考资料：

[1]分类问题性能评价指标详述:

https://blog.csdn.net/foneone/article/details/88920256
[2]AUC，ROC我看到的最透彻的讲解:

https://blog.csdn.net/u013385925/article/details/80385873
[3]机器学习大牛最常用的5个回归损失函数，你知道几个？:

https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-06-21-3
[4]机器学习-损失函数:

https://www.csuldw.com/2016/03/26/2016-03-26-loss-function/
[5]损失函数jupyter notebook:

https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb
[6]L1 vs. L2 Loss function:

http://rishy.github.io/ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/
[7]P-R曲线深入理解:

https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/80009867

原文链接：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/91511706

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