【LaTeX】案例分析 (8) - 高等数学分析 Mathematica 实验报告

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【Mathematica】 Mathematica 的安装
【Mathematica】数列极限的观察 - 实验一
【Mathematica】函数性态的观察 - 实验二
【Mathematica】函数的积分
【Mathematica】泰勒展开 - 实验三
【Mathematica】定积分的近似计算 - 实验四

代码

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}\begin{document}{\Huge \bfseries~高等数学分析数学实验报告\\}{\Large\noindent % 取消首行缩进{\bfseries 实验人员：}院（系）:\ XXX学院\ \ 学号:\ XXXXXXXX\ \ 姓名:\ Teddy van Jerry\noindent % 取消首行缩进{\bfseries 实验地点：}计算机中心机房}\section{实验一}\subsection{实验题目}通过绘图，观察下面的重要极限：$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$\subsection{实验目的和意义}本实验的目的是利用数学软件Mathematica绘制数列点集图像来加深对数列极限概念的理解。\subsection{计算公式}和题目中一致。\subsection{程序设计}\begin{lstlisting}[language=Mathematica,escapeinside=``]
an = {(1 + 1/1)^1, (1 + 1/2)^2, (1 + 1/3)^3};
Do[an = Append[an, (1 + 1/i)^i];t = ListPlot[an, PlotRange -> {1.8, 2.8},PlotStyle -> PointSize[0.015]]; Print[t], {i, 4, 20}]\end{lstlisting}\subsection{程序运行结果}\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = .4\textwidth]{1.1.pdf}\caption{习题1.1}\label{1.1}\end{figure}\subsection{结果的讨论和分析}从图\ref{1.1}中可以看出，极限大约是$2.7$，很接近$e$的值。\section{实验二}\subsection{实验题目}已知函数$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+c}\ (-5\leqslant x \leqslant 4)$$作出并比较当$c$分别取$-1,0,1,2,3$ 时的图形，并从图上观察极值点、驻点、单调区间、凹凸区间以及渐近线。\subsection{实验目的和意义}本实验的目的是利用数学软件Mathematica绘制函数及其导函数的图像来直观感受函数的性态有关的内容。\subsection{计算公式}和题目中一致。\subsection{程序设计}\begin{lstlisting}[language=Mathematica,escapeinside=``]
f[x_] := 1/(x^2 + 2 x + c);c = -1;
Plot[f[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f[x], c = -1"]
Plot[f'[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f'[x], c = -1"]
Plot[f''[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f''[x], c = -1"]c = 0;
Plot[f[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f[x], c = 0"]
Plot[f'[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f'[x], c = 0"]
Plot[f''[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f''[x], c = 0"]c = 1;
Plot[f[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f[x], c = 1"]
Plot[f'[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f'[x], c = 1"]
Plot[f''[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f''[x], c = 1"]c = 2;
Plot[f[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f[x], c = 2"]
Plot[f'[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f'[x], c = 2"]
Plot[f''[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f''[x], c = 2"]c = 3;
Plot[f[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f[x], c = 3"]
Plot[f'[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f'[x], c = 3"]
Plot[f''[x], {x, -5, 4},GridLines -> Automatic,Frame -> True,PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],PlotLabel -> "A Graph of f''[x], c = 3"]\end{lstlisting}\subsection{程序运行结果}以$c=-1$的为例：\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = .4\textwidth]{3.2-1.pdf}\caption{习题3.2(a)\ $f(x)$}\label{3.2-1}\end{figure}\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = .4\textwidth]{3.2-2.pdf}\caption{习题3.2(b)\ $f^{'}(x)$}\label{3.2-2}\end{figure}\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = .4\textwidth]{3.2-3.pdf}\caption{习题3.2(c)\ $f^{''}(x)$}\label{3.2-3}\end{figure}\subsection{结果的讨论和分析}\subsubsection{结果讨论}下面讨论$c=-1$时的情况。\begin{itemize}\item 极值点：$x=-1$\item 驻点：$x=-1$\item 单调区间：单调增区间：$(-\infty,-1.5)\text{和}(-1.5,-1]$；单调减区间：$(-1.5,0.5)\text{和}(0.5,+\infty)$\item 凹凸区间：凹区间：$(-2.5,0.5)$；凸区间：$(-\infty,-2.5)\text{和}(1.5,+\infty)$\item 渐近线 $x=-2.5,\ x=0.5,\ y=0$\end{itemize}\subsubsection{分析}由于图表标题问题，这个程序没有写循环结构，所以代码会显得比较冗长。\section{实验三}\subsection{实验题目}对$\cos(x)$展开到五阶并输出其误差。\subsection{实验目的和意义}熟悉 Taylor 公式及 Mathematica 中的代码书写。\subsection{计算公式}$$f(x)=f(x_0)\sum_{k = 1}^{n} \frac{\cos\left(x_0+n\frac{\pi}{2}\right)}{k!}x^k+o\left(|x-x_0|^{n+1}\right) $$\subsection{程序设计}\begin{lstlisting}[language=Mathematica,escapeinside=``]
d0 = -1;
While[d0 <= 1,a = N[Normal[Series[Cos[x], {x, 0, 5}]]] /. x -> d0;Print[d0, "\t", a, "\t", N[Cos[d0]], "\t", N[Cos[d0]] - a];d0 += 0.4;]]\end{lstlisting}\subsection{程序运行结果}-1\qquad 0.541667\qquad 0.540302\qquad -0.00136436-0.6\qquad 0.8254\qquad 0.825336\qquad -0.0000643851-0.2\qquad 0.980067\qquad 0.980067\qquad -8.8825410\^-80.2\qquad 0.980067\qquad 0.980067\qquad -8.8825410\^-80.6\qquad 0.8254\qquad 0.825336\qquad -0.00006438511.\qquad 0.541667\qquad 0.540302\qquad -0.00136436\subsection{结果的讨论和分析}在五次迭代之后在$-1\textless x\textless 1$的范围内误差较小，可以验证Taylor展开公式。\section{实验三}\subsection{实验题目}分别用梯形法、抛物线法求下面的积分的近似值（精确到$0.0001$）。$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x^2) \,dx $$\subsection{实验目的和意义}熟悉定积分的近似计算公式及 Mathematica 中的代码书写。\subsection{梯形法}\subsubsection{计算公式}$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{b-a}{n} \left[ \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i = 1}^{n} f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right) \right]$$梯形法的绝对误差为：$$\frac{(b-a)^2}{12n^3}M_2 \text{,}$$其中，$M_2$ 为$|f^{''}(x)|$ 在曲间$[a,b]$上的最大值。\subsubsection{程序设计}\begin{lstlisting}[language=Mathematica,escapeinside=``]
f[x_] := Sin[x^2];
a = 0;
b = Pi/2;
m2 = N[f''[0]];
delta = 10^(-4);
n0 = 100;
t[n_] := (b - a)/n*((f[a] + f[b])/2 + Sum[f[a + i*(b - a)/n], {i, 1, n - 1}]);
Do[Print[n, "\t", N[t[n], 8]];If[(b - a)^3/(12 n^2)*m2 < delta, Break[], If[n == n0, Print["fail to achieve the accuracy"]]], {n, n0}]\end{lstlisting}\subsubsection{程序设计结果}\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = .45\textwidth]{5.2 - 1.jpg}\caption{习题5.2（梯形法）}\label{5.2 - 1}\end{figure}\subsection{抛物线法}\subsubsection{计算公式}$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{b-a}{6k} \left[ f(a)+f(b) + 4\sum_{i = 1}^{k} f \left(x_{2i-1} \right) + 2\sum_{i = 1}^{k-1} f \left(x_{2i} \right) \right]$$梯形法的绝对误差为：$$\frac{(b-a)^5}{180n^4}M_4 \text{,}$$其中，$M_4$ 为$|f^{(4)}(x)|$ 在曲间$[a,b]$上的最大值。\subsubsection{程序设计}\begin{lstlisting}[language=Mathematica,escapeinside=``]
f[x_] := Sin[x^2];
a = 0;
b = Pi/2;
m4 = D[f[x], {x, 4}] /. x -> Pi/2;
delta = 10^(-4);
k0 = 50;
p[k_] := (b - a)/(6 k)*(f[a] + f[b] + 2 Sum[f[a + i*(b - a)/(2 k)], {i, 2, 2 k - 2, 2}] + 4 Sum[f[a + i*(b - a)/(2 k)], {i, 1, 2 k - 1, 2}]);
Do[Print[k, "\t", N[p[k]]];If[(b - a)^5/(180*(2 k)^4)*m4 < delta, Break[], If[k == k0, Print["fail to achieve the accuracy"]]], {k, k0}]\end{lstlisting}\subsubsection{程序运行结果}首先求$M_4$，用指令求出$f(x)$的四阶导数，然后用Plot命令绘出图像，由观察可得$M_4$在$x=\frac{\pi}{2}$取到。\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = .55\textwidth]{5.2 - 2.jpg}\caption{习题5.2（抛物线法） - 求出$M_4$}\label{5.2 - 2}\end{figure}然后运行主程序：\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = .6\textwidth]{5.2 - 3.jpg}\caption{习题5.2（抛物线法）}\label{5.2 - 3}\end{figure}\subsection{结果的讨论和分析}答案：0.8281两种算法都要考虑到误差问题。循环结束条件也与误差的判断有关。两种方法相比可以发现抛物线法的迭代次数更小，即与原函数更接近。\newpage\section*{附录}实验报告的撰写使用 \LaTeX。实验报告的 Mathematica 和 \LaTeX 代码为我（Teddy van Jerry）在 CSDN 上开源共享。\\\LaTeX 代码：\url{https://blog.csdn.net/weixin_50012998/article/details/112255688}实验一代码:\url{https://blog.csdn.net/weixin_50012998/article/details/110676930}实验二代码:\url{https://blog.csdn.net/weixin_50012998/article/details/110729035}实验三代码:\url{https://blog.csdn.net/weixin_50012998/article/details/111810707}实验四代码:\url{https://blog.csdn.net/weixin_50012998/article/details/112237731}\end{document}% Copyright 2021 Teddy van Jerry

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