一、泰勒级数

第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，本节则研究一个与其相反的问题：已知一个函数f(x)f(x)f(x)，是否存在幂级数，使它的和函数等于函数f(x)f(x)f(x).如果存在这样的幂级数，那么函数f(x)f(x)f(x)能展开成幂级数，而这个幂级数就表示函数f(x)f(x)f(x).

泰勒公式指出若函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某邻域内具有直到n+1n+1n+1阶导数，则在该邻域内f(x)f(x)f(x)的nnn阶泰勒公式为
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中，余项Rn(x)R_n(x)Rn(x)的拉格朗日形式为
Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1
ξ\xiξ是介于x0x_0x0和xxx之间的某个值.

如果f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某邻域内具有任意阶导数，可以设想，泰勒公式中的多项式部分随着项数无限增多而成为幂级数，即
f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+...f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+...
则此幂级数称为f(x)f(x)f(x)的泰勒级数.易知在x=x0x=x_0x=x0处，泰勒级数收敛于f(x0)f(x_0)f(x0).除了x=x0，x=x_0，x=x0，泰勒级数是否一定收敛于f(x)f(x)f(x)？下面的定理回答了这个问题.

定理一

设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某邻域内具有各阶导数，则函数f(x)f(x)f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是泰勒公式中的余项Rn(x)R_n(x)Rn(x)在该邻域内当n→∞n\to \inftyn→∞时的极限为零，即
limx→∞Rn(x)=0lim_{x\to \infty}R_n(x)=0limx→∞Rn(x)=0

泰勒级数是一个x−x0x-x_0x−x0的幂级数，若取x0=0x_0=0x0=0，则得到一个xxx的幂级数
f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+fn(0)n!+...f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}+...f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+...+n!fn(0)+...
称此级数为f(x)f(x)f(x)的麦克劳林级数.

下面介绍将函数展开为幂级数的方法.

（1）直接法

按定理一，先求出在点x0x_0x0处函数f(x)f(x)f(x)的各阶导数，写出泰勒级数并求其收敛域，然后在收敛域内讨论余项Rn(x)R_n(x)Rn(x)当n→∞n\to\inftyn→∞时极限是否为零.如果为零，则函数f(x)f(x)f(x)能展开成泰勒级数.

注意有例子表明，一个具有任意阶导数的函数的泰勒级数并非一定收敛于函数本身.这说明检验极限limn→∞Rn(x)lim_{n\to\infty}R_n(x)limn→∞Rn(x)是否为零很重要.

（2）间接法

先证明：如果f(x)f(x)f(x)能展开为x−x0x-x_0x−x0的幂级数，那么其展开式唯一，它一定与f(x)f(x)f(x)的泰勒公式一致.这种方法的优点是可以避免研究余项.

一些泰勒展开参考公式

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