【线性代数】线性相关与线性无关的定义与性质
定义1 线性相关:
Kn K n K^n中向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ge1)称为是线性相关的,如果 K K K中有不全为0的k1,k2,...,ks" role="presentation" style="position: relative;">k1,k2,...,ksk1,k2,...,ksk_1,k_2,...,k_s使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0.
定义2 线性无关:
Kn K n K^n中如果有向量组 α1,α2,...αs α 1 , α 2 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s(s ≥ ≥ \ge1)是线性无关的,那么从式子 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0中可以得到 k1=k2=...=ks=0 k 1 = k 2 = . . . = k s = 0 k_1=k_2=...=k_s=0.
线性相关与线性无关是线性代数中最基本的概念之一.
从以下几个角度来考察线性相关的向量组与线性无关的向量组的本质区别:
从线性组合来看:
如果向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ge1)线性相关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow k1α1+k2α2+...+ksαs=0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0,其中 k1,k2,...,ks k 1 , k 2 , . . . , k s k_1,k_2,...,k_s不全为0.
如果向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ge1)线性无关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow k1α1+k2α2+...+ksαs=0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0,其中 k1=k2=...=ks=0 k 1 = k 2 = . . . = k s = 0 k_1=k_2=...=k_s=0.从线性表出来看:
如果向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ge2)线性相关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow其中至少有一个向量可以由其他向量线性表出.
如果向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ge2)线性无关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow其中每一个向量都不可以由其他向量线性表出.从齐次线性方程组来看:
如果列向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ge1)线性相关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow齐次线性方程组 x1α1+x2α2+...+xsαs=0 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x s α s = 0 x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_s\alpha_s=0有非零解.
如果列向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ge1)线性无关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow齐次线性方程组 x1α1+x2α2+...+xsαs=0 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x s α s = 0 x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_s\alpha_s=0只有零解.从行列式来看:
若n个n维列(行)向量组 α1,α2,...,αn α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性相关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow以 α1,α2,...,αn α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为列(行)向量组的矩阵的行列式等于零.
若n个n维列(行)向量组 α1,α2,...,αn α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关
⟷ ⟷ \longleftrightarrow以 α1,α2,...,αn α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为列(行)向量组的矩阵的行列式不等于零.从向量组线性表出的一个向量的方式来看:
若向量 β β \beta可以由向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s线性表出,且表出方式唯一,
⟷ ⟷ \longleftrightarrow则向量组 α1,α2,...,αn α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关.
若向量 β β \beta可以由向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s线性表出,且表出方式有无穷多种,
⟷ ⟷ \longleftrightarrow则向量组 α1,α2,...,αn α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性相关.从向量组与它部分组的关系来看:
若向量组的一个部分组线性相关
⟶ ⟶ \longrightarrow则整个向量组线性相关.
若向量组线性无关
⟶ ⟶ \longrightarrow则它的任何一个部分向量组线性无关.
(以上二者为逆否命题)从向量组与它的延伸组或伸缩组的关系来看:
如果向量组线性无关,那么把每个分量添上 m m m个分量(所添加的分量的位置对于每个向量都是一样的)得到的延伸组也线性无关;
如果向量组线性相关,那么把每个分量去掉m" role="presentation" style="position: relative;">mmm个分量(所添加的分量的位置对于每个向量都是一样的)得到的延伸组也线性相关.
我的微信公众号
【线性代数】线性相关与线性无关的定义与性质相关推荐
- 线性相关与线性无关的定义与性质
定义1 线性相关: KnKnK_nK_nKnKn中向量组α1,α2,...,αs(s≥1)α_1,α_2,...,α_s(s\ge1)α1,α2,...,αs(s≥1)称为是线性相关的,如果 ...
- 线性代数 --- 线性相关与线性无关(个人学习笔记)
线性相关的定义: 给定一组列向量v1,v2...vk与一组对应的权重c1,c2...ck以及他们的线性组合c1v1+c2v2+...+ckvk.显然,令所有权重都为0的组合一定会得到:0v1+0v2+ ...
- 线性代数 —— 线性组合与线性表出,线性相关与线性无关
线性代数入门--线性组合与线性表出,线性相关与线性无关 线性组合与线性表出 相关例题 --"xxx能否由xxx线性表出" 线性相关与线性无关 定义 含义 相关例题 线性组合与线性表 ...
- 线性代数学习之线性相关,线性无关与生成空间
继续接着上一次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306045.html的线性代数的学习继续向前,这次则开始要接触线性代数领域更加核心更加关键的内容:什么是线性 ...
- 【线性代数(10)】向量线性相关与线性无关
n维向量及其运算.向量线性相关与线性无关 1 向量间的线性关系 2 向量组的等价 3 线性相关与线性无关 4 定理 手动反爬虫: 原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在 ...
- 线性代数(六) : 线性相关与线性无关
线性相关(Linear dependent)与线性无关(Linear independent)对于理解子空间的基,子空间的维数,以及矩阵的秩等等是重要的. 1 线性相关与线性无关 考虑R^2 空间中的 ...
- 线性代数:03 向量空间 -- 线性相关与线性无关
本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习. 本章主要介绍向量空间的知识,与前两章一样本章也可以通过研究解线性方程组的解把所有 ...
- 【线性代数本质】2:线性组合和线性相关和线性无关以及张成的空间
文章目录 一:基向量 二:线性组合 三:向量张成的空间 四:向量与点的关系 五:线性相关和线性无关 一:基向量 在xyxyxy直角坐标系中有一对非常特殊的向量 iii:指向xxx轴正方向的单位向量 j ...
- 线性代数(7): 线性相关与线性无关
文章目录 1 线性组合 2 线性相关 3 线性无关 4 矩阵的逆和线性相关,线性无关 5 直观理解线性相关和线性无关 5.1 线性相关 5.2 线性无关 参考资料 注:转载请标明原文出处链接:http ...
最新文章
- 回调函数在C/C++中的使用
- x64dbg 搜索多条指令 ( find sequence of commands )
- 剑指offer打卡计划、建议(持续进行)
- 高通modem启动过程_苹果首次承认正自研基带芯片,高通要被抛弃了?
- 特征级融合_遥感影像融合的方法有哪些
- C#LeetCode刷题-拓扑排序
- 程序设计用户生日怎么发推送_生日祝福:儿子生日怎么发朋友圈说说 儿子生日怎么写祝福语...
- mysql故障切换 java_javaoraclethin和oci连接方式实现多数据库的故障切换
- 期刊目录 核心期刊 计算机学术期刊等
- 基于matlab的倒立摆设计,基于MATLAB的倒立摆智能控制
- Ettercap网络嗅探工具攻略
- 自学编程的难度如何?
- JProfiler安装、激活
- entity framework migration
- C++ 已知两个时间(年月日)求日期差
- 配置iterms窗口在其他界面上悬浮
- 【Unity编程】Unity中的欧拉旋转
- ubuntu解压和压缩tar文件
- 卫星图在线浏览地址大全
- 【C语言】VS编辑器实用的调试技巧
热门文章
- 如何批量下载网站网页
- 《C#多线程编程实战》读书笔记
- 【杂篇 · 技巧】WebStorm页面窗口与显示bug
- 全球唯一棕色熊猫 据科学记载全世界仅发现五只
- Excel公式大全 excel自动求减 15个常用excel函数公式
- 申请 Apple ID 的操作方法
- 〖产品思维训练白宝书 - 产品思维认知篇⑤〗- 学习 [产品思维] 需要做哪些准备?
- Opencv之边缘检测卷积算子(roberts与prewitt)
- WIN7远程桌面连接方法!远程控制教程!XP远程桌面连接教程!如何设置远程桌面连接?远程桌面连接设置!
- CCNA 认证学习(二)