一、什么是delta方法

众所周知，当一个变量XXX服从正态分布时，其线性变换也服从正态分布。那么非线性变换呢？

delta方法提出，其经过可导函数变换后得到的g(X)g(X)g(X)仍然概率趋向正态分布，并且提供了期望、方差的计算公式。

单变量XXX 变换为 g(X)g(X)g(X)，对g(X)g(X)g(X)泰勒展开：
g(X)≈g(θ)+g′(θ)(X−θ)g(X) \approx g(\theta) + g'(\theta)(X - \theta)g(X)≈g(θ)+g′(θ)(X−θ)
g(X)−g(θ)≈g′(θ)(X−θ)→νN(0,σ2∗[g’(θ)]2)g(X) - g(\theta) \approx g'(\theta)(X - \theta) \overset{\nu }{\rightarrow} N(0, \sigma^2 * [g’(\theta)]^2)g(X)−g(θ)≈g′(θ)(X−θ)→νN(0,σ2∗[g’(θ)]2)

g(θ)g(\theta)g(θ)为常数，故g(X)→N(0,σ2∗[g′(θ)]2)g(X) {\rightarrow} N(0, \sigma^2 * [g'(\theta)]^2)g(X)→N(0,σ2∗[g′(θ)]2)

多变量变换同样能得到分布的期望和方差，常用于计算两随机变量之商YX\frac{Y}{X}XY的分布和方差

E(YX)=E(Y)E(X)E(\frac{Y}{X})=\frac{E(Y)}{E(X)}E(XY)=E(X)E(Y)
var(YX)=var(X)Y2+X2var(Y)Y4−2Xcov(X,Y)Y3var(\frac{Y}{X})=\frac{var(X)}{Y^2}+\frac{X^2var(Y)}{Y^4}-2\frac{Xcov(X,Y)}{Y^3}var(XY)=Y2var(X)+Y4X2var(Y)−2Y3Xcov(X,Y)

二、应用背景

AB测试中的随机化分流单元（Randomization Unit）和指标的分析单元（Analysis Unit）不同时。中心极限定理要求样本点之间是独立的。AB实验中的分流单元是用户，即用户与用户之间独立。

“人均”型指标的分析单元是用户，每个用户的取值为X1X_1X1，X2X_2X2，X3X_3X3…互相独立，此时Xˉ\bar{X}Xˉ可以用zzz检验。
点击率的分析单元是“每次曝光”，即是在曝光次数上求均值，样本点是X11X_{11}X11，X12X_{12}X12，X13X_{13}X13…，XijX_{ij}Xij可看作第iii个用户第jjj次曝光时是否点击，多次曝光互相之间不独立，无法用zzz检验。

解决方法：分子分母同时除以人数nnn，使用delta检验，得到ctrˉ\bar{ctr}ctrˉ服从正态分布，且可求得均值和方差。计算方差需要人均点击数/人均曝光量的均值和方差、以及人均点击和人均曝光的协方差。

进而计算统计量即可

参考文献

https://www.jianshu.com/p/917dc1584452
https://toutiao.io/posts/q660w08/preview

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delta method 介绍

一、什么是delta方法

二、应用背景

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