高级数据结构之赫夫曼树

思考两个问题

电报发送：二战的时候大家都知道那时候普遍会应用电报，如果让你来设计一个电报的发送编码你该如何设计呢？

电报加密后越短越好，发送快。

破解难

解码容易

换加密树也要快

可逆的

压缩算法：给你10000个字符（每个字符1btye，也就是8bit）的文件，你怎么存储可以尽可能的节省空间呢？假设字符是 a b c d 4种，10000 * 8 =80000bit

思路1：重复的去掉；思路2：使用二进制代替

假定 a=000 b=001 c=010 d=100,这样我们每个字符由于原来8bit就变成了3bit的二进制，缩小了将近3倍
举例分析：dab二进制为100000001，若是abcdaaa二进制为000001010100000000000，

出现很多重复的a是否可以进一步优化？
假设优化：A:0 B：001 C：010 D：100，则abcdaaa：0001010100000=>abcdaaa

进一步将重复的数据缩小了，是否存在问题？
abcdaaa解码，以前3个bit表示一个字符，现在b、c编码包含a，不支持解码，怎么优化？

优化思路：区分开a和b，赫夫曼编码（前缀编码）
优化：A:0 B：101 C：110 D：100，则abcdaaa编码0101110100000

解码伪代码如下

// A:0       B：101    C：110    D：100
Map mapping;
String code="01011101000000000"
var decode;
var currDecode;
for(int i=0;i<code.lenth;i++){currDecode+=char(i);var res = mapping.get(currDecode);if(res != null){decode+=res}
}

最优二叉树（哈夫曼树）

计算这三颗二叉树的带权路径长度总和：其中每个点的权重为：a:7 b:5 c:2 d:4
公式：每个节点深度*权重的和

WPL(a):72+52+22+42=36()
WPL(b):73+53+21+42=46()
WPL©:71+52+23+43=35()
发现什么？权重越大节点，深度越低，和越小，和最小的就是最优二叉树

定义：

给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近

那么这个赫夫曼树和压缩又有什么关系呢？

二叉树，二叉，这时候你要想到二进制，二叉分左右嘛。左节点的边设置为0，右节点的边设置为1

哈夫曼编码定义：

最优二叉树中我们给每一条边加上一个权值，指向左子节点的边我们标记为0，指向右子节点的边标记为1，那从根节点到叶节点的路径就是我们说的哈夫曼编码

所以图c的赫夫曼树对应的编码就是：
a：0 b：10 c：110 d：111

构建思路

核心思想：贪心算法：利用局部最优推出全局最优，把频率出现多的用短码表示，频率出现小的就用长一点。而且，任何一个字符的编码都不是另一个的前缀，在解压缩的时候，我们每次会读取尽可能长的可解压的二进制串，所以在解压缩的时候也不会产生歧义

具体实现思路：

按权重排序

每次取数值最小的两个节点，将之组成为一颗子树。

移除原来的两个点

然后将组成的子树放入原来的序列中

重复执行1 2 3 直到只剩最后一个点

实现哈夫曼树

例子： a:3 b:24 c:6 d:20 e:34 f:4 g:12，根据以上权重来实现哈夫曼树

构建哈夫曼树

package datastructure.tree;import java.util.*;/*** 哈夫曼树** @author zw* @create 2023-04-09 1:24*/
public class HuffmenTree<T extends Comparable<T>> {MyTreeNode<T> root;List<MyTreeNode<T>> leafs;                // 叶子节点Map<T, Integer> weights; // 叶子节点的权重, a,b,c,d,eMap<String, String> encodeMap = new HashMap<>(); // 编码表Map<String, String> decodeMap = new HashMap<>(); // 解码表public HuffmenTree(Map<T, Integer> weights) {this.weights = weights;leafs = new ArrayList<>();}/*** 构建哈夫曼树*/public void builder() {// 按权重排序，这可以用之前写得排序算法，为了方便使用jdk的优先队列PriorityQueue<MyTreeNode> priorityQueue = new PriorityQueue<MyTreeNode>((o1, o2) -> o1.weight - o2.weight);weights.forEach((data, weight) -> {MyTreeNode MyTreeNode = new MyTreeNode(data, weight);priorityQueue.add(MyTreeNode);leafs.add(MyTreeNode);});MyTreeNode root = null;while (priorityQueue.size() != 1) {// 从优先队列拿出最小的两个节点合并MyTreeNode leftNode = priorityQueue.poll();MyTreeNode rightNode = priorityQueue.poll();// 将合并节点放入优先对垒int parentNodeWight = leftNode.weight + rightNode.weight;MyTreeNode<T> parentNode = new MyTreeNode<T>(null, parentNodeWight);parentNode.left = leftNode;parentNode.right = rightNode;leftNode.parent = parentNode;rightNode.parent = parentNode;priorityQueue.add(parentNode);root = parentNode;}// 将根节点返回this.root = root;}/*** 解码* @param code* @return*/public String decode(String code) {String decode = "";char[] chars = code.toCharArray();String currCode = "";for (int i = 0; i < chars.length; i++) {currCode += chars[i];if (decodeMap.containsKey(currCode)) {String data = decodeMap.get(currCode);decode += data;currCode = "";}}return decode;}/*** 对输入编码** @param input*/public String encode(String input) {String code = "";for (char data : input.toCharArray()) {String encode = encodeMap.get(String.valueOf(data));code += encode;}return code;}/*** 对叶子节点编码** @return*/public void leafencode() {// 两种方式：1、自顶向下  2、自底向上，这儿采用自底向上for (MyTreeNode<T> leaf : leafs) {String code = "";T data = leaf.data;MyTreeNode currNode = leaf;while (currNode.parent != null) {// 判断当前节点，是左是右MyTreeNode parentNode = currNode.parent;if (parentNode.left == currNode) {code = "0" + code; // 自底向上编码是反的，这儿处理下} else {code = "1" + code;}currNode = currNode.parent;}encodeMap.put(data.toString(), code); // 初始化编码表decodeMap.put(code, data.toString());  // 初始化解码表}}
}

测试用例

    public static void main(String[] args) {// a:3 b:24 c:6 d:20 e:34 f:4 g:12Map<Character, Integer> weights = new HashMap<Character, Integer>();weights.put('a', 3);weights.put('b', 24);weights.put('c', 6);weights.put('d', 20);weights.put('e', 34);weights.put('f', 4);weights.put('g', 12);HuffmenTree huffmenTree = new HuffmenTree(weights);huffmenTree.builder();huffmenTree.leafencode();huffmenTree.root.show();String input = "aceg";String encode = huffmenTree.encode(input);String decode = huffmenTree.decode(encode);String log = String.format("编码表：%s\n解码表:%s\n输入:%s\n编码结果:%s\n解码结果:%s",huffmenTree.encodeMap,huffmenTree.decodeMap,input,encode,decode);System.out.println(log);}

运行结果

                                                null                                             /            \                                           null                null                                   /       \           /       \                                  d            b      null         e                              /         \                                           g           null                                     /  \                                      c       null                                 / \                                   a   f
编码表：{a=10110, b=01, c=1010, d=00, e=11, f=10111, g=100}
解码表:{00=d, 11=e, 01=b, 100=g, 10110=a, 1010=c, 10111=f}
输入:aceg
编码结果:10110101011100
解码结果:acega   f
编码表：{a=10110, b=01, c=1010, d=00, e=11, f=10111, g=100}
解码表:{00=d, 11=e, 01=b, 100=g, 10110=a, 1010=c, 10111=f}
输入:aceg
编码结果:10110101011100
解码结果:aceg

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