扩展欧几里得定理求ax + by = c 的通解

2024-05-08 15:49:59

扩展欧几里得定理求ax + by = c 的通解：

前置条件：

ax + by = c , gcd(a, b) = d

计算：

a d \frac{a}{d} dax + b d \frac{b}{d} dby = c d \frac{c}{d} dc ；

设 a d \frac{a}{d} da = a₁ , b d \frac{b}{d} db = b₁ ;

原式变为 a₁x + b₁y = c d \frac{c}{d} dc ；

易知 gcd(a₁, b₁) = 1 ；

设 a₁m +b₁n = 1 ;

由扩展欧几里得算法可得 m₀ 为一个特解 ;

m = m₀ + b₁t , t 为任意整数 ;

则 a₁x + b₁y = c d \frac{c}{d} dc 的通解为：

x = m * c d \frac{c}{d} dc ；

一个特解为 x₀ = m₀ * c d \frac{c}{d} dc ；

得到 x = x₀ + c b t d ∗ d \frac{c b t}{d * d} d∗dcbt ；（这里把b₁换成了 b d \frac{b}{d} db）

所以 x = x₀ + b t d \frac{bt}{d} dbt ， t为任意整数 (因为 t 不一定是 d 的倍数，所以不能约分)

在学CRT的时候自己琢磨的，如有错误，敬请斧正。

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