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通过矩阵来研究二次函数（方程），这就是线性代数中二次型的重点。

1 二次函数（方程）的特点

1.1 二次函数

最简单的一元二次函数就是：

给它增加一次项不会改变形状：

增加常数项就更不用说了，更不会改变形状。

1.2 二次方程

下面是一个二元二次方程：

给它增加一次项也不会改变形状，只是看上去有些伸缩：

1.3 小结

对于二次函数或者二次方程，二次部分是主要部分，往往研究二次这部分就够了。

2 通过矩阵来研究二次方程

因为二次函数（方程）的二次部分最重要，为了方便研究，我们把含有 $n$ 个变量的二次齐次函数：

$\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdot,x_n) &=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2\\ &+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n \end{aligned}$

或者二次齐次方程称为二次型。

2.1 二次型矩阵

实际上我们可以通过矩阵来表示二次型：

更一般的：

可以写成更线代的形式：

所以有下面一一对应的关系：

在线代里面，就是通过一个对称矩阵，去研究某个二次型。

2.2 通过矩阵来研究有什么好处

2.2.1 圆锥曲线

我们来看下，这是一个圆：

我们来看改变一下二次型矩阵：

哈，原来椭圆和圆之间是线性关系呐（通过矩阵变换就可以从圆变为椭圆）。

继续：

咦，双曲线和圆之间也是线性关系（准确的说是仿射的）。

其实圆、椭圆、双曲线之间关系很紧密的，统称为圆锥曲线，都是圆锥体和平面的交线：

从上面动图可看出，一个平面在圆锥体上运动，可以得到圆、椭圆、双曲线，这也是它们之间具有线性关系的来源（平面的运动是线性的、或者是仿射的）。

2.2.2 规范化

再改变下矩阵：

这个椭圆看起来有点歪，不太好处理，我们来把它扶正，这就叫做规范化。

如果我们对矩阵有更深刻的认识，那么要把它扶正很简单。

往下读之前，请先参看我在如何理解特征值下的回答。

首先，矩阵代表了运动，包含：

旋转
拉伸
投影

对于方阵，因为没有维度的改变，所以就没有投影这个运动了，只有：

旋转
拉伸

具体到上面的矩阵：

我把这个矩阵进行特征值分解：

注意我上面提到的正交很重要，为什么重要，可以参看我在如何理解特征值中的解释。

对于二次型矩阵，都是对称矩阵，所以特征值分解总可以得到正交矩阵与对角矩阵。

特征值分解实际上就是把运动分解了：

那么我们只需要保留拉伸部分，就相当于把矩阵扶正（图中把各自图形的二次型矩阵标注出来了）：

所以，用二次型矩阵进行规范化是非常轻松的事情。

2.2.3 正定

正定是对二次函数有效的一个定义，对方程无效。

对于二次型函数， $f(x)=x^TAx$ ：

$f(x)>0,x\ne0,x\in\mathbb{R}$ ，则 $f$ 为正定二次型， $A$ 为正定矩阵
$f(x)\geq0,x\ne0,x\in\mathbb{R}$ ，则 $f$ 为半正定二次型， $A$ 为半正定矩阵
$f(x)<0,x\ne0,x\in\mathbb{R}$ ，则 $f$ 为负定二次型， $A$ 为负定矩阵
$f(x)\leq0,x\ne0,x\in\mathbb{R}$ ，则 $f$ 为半负定二次型， $A$ 为半负定矩阵
以上皆不是，就叫做不定

从图像上看，这是正定：

半正定：

不定：

既然二次型用矩阵来表示了，那么我们能否通过矩阵来判断是否正定呢？

下面我分别给出了二次型的图形，以及对应的特征值矩阵的图形，你可以自己动手试试(3D窗口可以通过鼠标旋转，方便观察)，得出自己的结论：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

起码，我们可以观察出这个结论，特征值都大于0，则为正定矩阵。

3 总结

在很多学科里，二次型都是主要研究对象，很多问题都可以转为二次型。线代作为一门数学工具，在二次型的研究中也发挥了很好的作用。

此处可以查看最新版本（可能不定期更新）：如何理解二次型？

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