三种常见的正则化模型研究2

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上次学习了第一个正则项，吉洪诺夫正则项。
接下来介绍TV正则。
相比用 Tikhonov 正则化去噪，用 TV 正则化模型去噪，效果更好模糊更少。ROF 模型具有保持边界的良好性质。文章主要是介绍了TV正则项的一些发展史：
1.对偶投影法求解 ROF 模型。该法把原始问题的求解转化为对偶空间上的一个投影问题的求解。该法简单快速，去噪效果很好。
2.基于 Bregman 距离的 Bregman 迭代规则算法。每次迭代加入前一步处理中丢弃的噪音，里面包含图像的部分边界和细节信息，可能会使后面的结果更接近原始图像。
3.加权噪音回带的去噪音模型。该法先给 Bregman 迭代规则算法的噪音回带项配以一个权重系数，可以有效减缓回带噪音过重导致的不理想，然后再用 Chambolle 的对偶投影法来求解每一单步，去噪效果优于两种方法中的任意一种方法。

对于稀疏正则，以图像梯度的 L0 模作为正则项，对总体梯度的非零数加以限定。
关于稀疏约束，补充一些知识点（大多是在别人的博客里面学习的）
在实际应用中，数据的维度中是存在噪音和冗余的，稀疏的解可以找到有用的维度并且减少冗余，提高回归预测的准确性。稀疏约束最直观其实是约束0范式，但是0范式不连续并且非凸，其实1范式也可以达到稀疏的效果，最重要的是1范式很容易求解，所以稀疏约束更常用1范式。

为什么1范式可以达到稀疏的效果呢？
对于

容易看到J是不可微的，但是我们需要求出J0取最小的时候J的解。
我们考虑二维的情况，只有权值w1和w2

图中等值线是J0的等值线，黑色方线是L函数的图形，在图中，J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。L函数突出的角（维数越高越多）和J0接触的几率高，而这些角上，会有很多权值为0，所以1范式可以用于产生稀疏模型。
当然这篇文章介绍的是梯度的L0模作为正则项的稀疏正则

如何求解呢？文章介绍一种很精巧的稀疏梯度计算格式，解决梯度的L0模的最小化问题。

将问题分解为对S和(h,v)的求解。

1.首先对于S的求解需要了解FFT（快速傅里叶变换）的知识。
FFT其实是一个用O(nlog2n)的时间将一个用系数表示的多项式转换为它的点值表示的算法。我们默认所有的n都是2的整数次幂。
首先根据傅里叶变换知识我们知道

首先设

这样就可以利用快速傅里叶转换求S,在把表达式变成点值后，只需在傅里叶域上的进行做逐个像素的加、乘和除法运算而不需要处理矩阵逆的问题，因此比原始方程的求解更简单。
2.对于(h,v)的求解
我们知道C （h，v）返回 |h|+|v|的非零元素个数,由于（h,v）是图像上的各个像素点，所以可以对各个点分别计算后连加，计算方便很多。

总结：
Tikhonov 正则化去噪法（图像梯度的 L2 模的平方作为正则项）和 TV 正则化去噪方法（图像梯度的 L1 模作为正则项）。Tikhonov 正则化模型具有一定的去噪能力，但是会带来很大的模糊，而 TV 正则化去噪模型能够有效去除噪音并保护水平和铅直边界。稀疏正则不仅可以平滑掉内部低幅细节和纹理而且还能有效地保护图像的全局主要边界，从而提高了图像边界的识别度，便于边界检测等更进一步的图像处理。

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