无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器设计方法
无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器设计方法）
- 一.数字滤波器的基本概念
- 二.数字滤波器的技术指标
- 三.全通滤波器
- 1.定义
- 2.一阶全通系统
- 3.二阶全通系统
- 4.N阶数字全通滤波器
- 5.全通系统H~ap~(Z)的性质
- 6.全通系统的应用
- 四.最小相位 滞后 滤波器
- 五.模拟低通滤波器的设计
- 1.巴特沃斯低通滤波器
- （1）幅度平方函数
- （2）滤波器的系统函数
- （3）滤波器设计步骤
- 2.切比雪夫低通滤波器
- （1）幅度平方函数
- （2）滤波器的系统函数
- （3）滤波器设计步骤
- 3.低通椭圆滤波器
- 六.用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
- 1.冲激响应不变法
- 2.双线性变换法
- 七.总结
一.数字滤波器的基本概念
1.数字滤波器基本功能
数字滤波器（digital filter）主要功能是滤波，对某些频段信号加以放大，而将一些频段信号加以抑制。它既可以对数字信号进行处理，如果加上模-数转换器，也能对模拟信号进行处理。
2.数字滤波器类型
按冲激响应分：无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器，有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器。
按幅度响应分：低通，高通，带通，带阻等。
按相位响应分：线性相位，非线性相位。
3.IIR数字滤波器设计方法
间接法与直接法
二.数字滤波器的技术指标
1.选频滤波器的频率响应
|H(e^jΩ)| 是幅频特性，表示信号通过滤波器后各频率衰减情况
β(jΩ) 是相频特性，反映通过滤波器后各频率成分的延时情况
表征频率响应的特征参量有：
①幅度平方响应
②相位响应
③群延迟响应
此为群延迟响应，当τ(e^jΩ)=常数，则为线性相位滤波器。
另外还有通带，阻带，过渡带，通带容限(δ1)，阻带容限(δ2)，通带截止频率(ωp），阻带截止频率(ωst)，通带允许的最大衰减分贝Rp，阻带最小衰减分贝As等。其中，ωp又称3dB通带截止频率。
三.全通滤波器
1.定义
系统频率响应的幅度在所有ω都为1
2.一阶全通系统
它的零点和极点关于单位圆边界对称。
3.二阶全通系统
零点与零点，极点与极点之间共轭对称；零点与极点关于单位圆边界对称。
4.N阶数字全通滤波器
5.全通系统Hap(Z)的性质
- 全通系统相频特性随ω增加而单调下降
- 全通系统相频特性一定是负数
- 全通系统群延时一定是正数
- 全通系统相角的变化量为Nπ
6.全通系统的应用
（1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示为全通系统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联
注：对于闭环系统，传递函数 极点和零点 的实部≤0，则称它是最小相位系统。
（2）级联一个全通系统，可以使非稳定滤波器变成稳定滤波器
（3）全通系统可以作为相位均衡器，即矫正系统非线性相位，而不改变幅度特性
四.最小相位 滞后 滤波器
(此部分不详写）
最小相位系统Hmin(z)：因果系统 所有零点 都在单位圆内
最大相位系统Hmax(z)：因果系统 所有零点 都在单位圆外
混合相位系统：单位圆内，外都有零点
五.模拟低通滤波器的设计
滤波器的种类 取决于 滤波的幅度函数 的不同。
由前面得分析可知，由已知的 幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2能求得 模拟滤波器的系统函数 Ha(s）
1.巴特沃斯低通滤波器
（1）幅度平方函数
N为滤波器阶数，Ωc为通带截止频率
称Ωc 为Butterworth低通滤波器的 3分贝带宽
由图可见，N的不同会导致滤波器的特性有所变化。
该滤波器是一个全极点滤波器，其极点分布在圆上，不落在虚轴，共2N点。
（2）滤波器的系统函数
Ωc=1rad/s时，为归一化系统的系统函数Han(s)
（3）滤波器设计步骤
确定技术指标：Ωp，Rp，Ωs，As
根据技术指标求滤波器阶数N
求归一化系统函数：由N，直接查表得Han(s)
去归一化
2.切比雪夫低通滤波器
切比雪夫有I ,II型滤波器
下面是I型滤波器幅度特性
（1）幅度平方函数
0<ε<1,用来表征通带波纹大小，ε越大，波纹越大。由通带衰减Rp决定。
Ωc不一定是3dB带宽
CN(x)是N阶Chebyshev多项式
幅度函数特点(I型为例)
（2）滤波器的系统函数
（3）滤波器设计步骤
确定技术指标：Ωp，Rp，Ωs，As
根据技术指标求滤波器阶数N
求归一化系统函数：由N，直接查表得Han(s)
去归一化Ha(s)=Han(s/Ωp）
3.低通椭圆滤波器
就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性比价最高，应用最广泛
相同指标，椭圆阶数N最小，巴特沃斯N最大
六.用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
设计思想：s平面映射到z平面（即模拟系统 映射为 数字系统）
1.冲激响应不变法
原理：数字滤波器的单位冲激响应h(n),模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)。（所以时域逼近良好）
数字滤波器的频率响应不产生混叠失真的条件：
实际的系统不可能严格限带，都会混叠失真，在|Ω|>Ωs/2处衰减越快，失真越小
优点是时域逼近良好，缺点是频率响应会混迭，只适合于限带的低通，带通滤波器
2.双线性变换法
原理：使 数字滤波器 的 频率响应 与 模拟滤波器 的 频率响应 相似。
s与s1域相互转换的频率关系
由此得出：
又由z=es1T
此时为了使模拟频率器某一频率与数字频率器任一频率有对应关系，引入系数c
（相当于同时改变s与z）
可以用查变法通过Ha(s)求得H(z)
双线性变换法优点是，避免频率响应的混迭，缺点是，Ω与ω之间会有严重的非线性失真，即畸变。
所以要通过给定数字滤波器的截止频率ω1来预畸变。（预畸变就是提前知道误差在哪里产生，强行修正误差）
七.总结
由要求的数字滤波器先设计出模拟的，再由模拟转换为数字的。
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