内容概述

本节将可逆矩阵的概念和之前学到的一些概念进行了关联，说明了这些概念之间的等价性。最后以空间变换为例，讲述了逆矩阵和逆变换之间的联系。

可逆矩阵的特征

本节重点讲逆矩阵的概念和第一章中nnn个未知量nnn个方程的方程组以及方阵联系起来。
定理：

设AAA为n×nn \times nn×n矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的AAA，它们同时为真或同时为假：
a. A是可逆矩阵
b. A行等价于n×nn \times nn×n单位矩阵
c. A有nnn个主元位置
d. 方程Ax=0A\boldsymbol x = \boldsymbol 0Ax=0仅有平凡解
e. AAA的各列线性无关
f. 线性变换x→Ax\boldsymbol x \rightarrow A\boldsymbol xx→Ax是一对一的、
g. 对Rn\mathbb R^nRn中任意b\boldsymbol bb，方程Ax=bA\boldsymbol x = \boldsymbol bAx=b至少有一个解
h. AAA的各列生成Rn\mathbb R^nRn
i. 线性变换x→Ax\boldsymbol x \rightarrow A\boldsymbol xx→Ax把Rn\mathbb R^nRn映上到Rn\mathbb R^nRn
j. 存在n×nn \times nn×n矩阵CCC使CA=ICA = \boldsymbol ICA=I
k. 存在n×nn \times nn×n矩阵DDD使AD=IAD = \boldsymbol IAD=I
l. ATA^TAT是可逆矩阵

上述定理的等价性可以一一彼此证明，事实上，如果能够深刻理解之前学习的内容，这些结论是显而易见的，均是同一件事情的不同说法。

例：

应用可逆矩阵定理来判断AAA是否可逆
A=[10−231−2−5−19]A = \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \\ -5 & -1 & 9\end{bmatrix} A=⎣⎡13−501−1−2−29⎦⎤

解：

A∼[10−20140−1−1]∼[10−2014003]A \sim \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix} A∼⎣⎡10001−1−24−1⎦⎤∼⎣⎡100010−243⎦⎤
由于AAA有3个主元位置，根据上述定理（c），AAA是可逆的。

一定要注意的是，虽然可逆矩阵定理将许多重要概念作了关联，但必须强调，可逆矩阵定理仅能用于方阵。

可逆线性变换

当矩阵AAA可逆时，方程A−1Ax=xA^{-1}A \boldsymbol x = \boldsymbol xA−1Ax=x可看作关于线性变换的一个命题：

线性变换T:Rn→RnT:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^nT:Rn→Rn称为可逆的，若存在函数S:Rn→RnS:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^nS:Rn→Rn，使得：
对所有Rn\mathbb R^nRn中的x\boldsymbol xx，S(T(x))=xS(T(\boldsymbol x)) = \boldsymbol xS(T(x))=x
对所有Rn\mathbb R^nRn中的x\boldsymbol xx，T(S(x))=xT(S(\boldsymbol x)) = \boldsymbol xT(S(x))=x

下列定理说明若这样的SSS存在，则它时唯一的而且必是线性变换，我们称SSS是TTT的逆，把它写成T−1T^{-1}T−1。
定理：

设T:Rn→RnT:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^nT:Rn→Rn为线性变换，AAA为TTT的标准矩阵。则TTT可逆当且仅当AAA是可逆矩阵。这时由S(x)=A−1xS(\boldsymbol x)=A^{-1}\boldsymbol xS(x)=A−1x定义的线性变换SSS是满足S(T(x))=xS(T(\boldsymbol x)) = \boldsymbol xS(T(x))=x和T(S(x))=xT(S(\boldsymbol x)) = \boldsymbol xT(S(x))=x的唯一函数。

证：

设TTT是可逆的，则T(S(x))=xT(S(\boldsymbol x)) = \boldsymbol xT(S(x))=x说明TTT是从Rn\mathbb R^nRn映上到Rn\mathbb R^nRn的映射，因若b\boldsymbol bb属于Rn\mathbb R^nRn，x=S(b)\boldsymbol x = S(\boldsymbol b)x=S(b)，则T(x)=T(S(b))=bT(\boldsymbol x) = T(S(\boldsymbol b)) = \boldsymbol bT(x)=T(S(b))=b，所以每个b\boldsymbol bb属于TTT的值域，于是由上述定理(i)，AAA为可逆的。
反之，若AAA是可逆的，令S(x)=A−1xS(\boldsymbol x)=A^{-1}\boldsymbol xS(x)=A−1x，则SSS是线性变换，且显然SSS满足S(T(x))=xS(T(\boldsymbol x)) = \boldsymbol xS(T(x))=x和T(S(x))=xT(S(\boldsymbol x)) = \boldsymbol xT(S(x))=x。例如：S(T(x))=S(Ax)=A−1(Ax)=xS(T(\boldsymbol x)) = S(A\boldsymbol x)=A^{-1}(A\boldsymbol x) = \boldsymbol xS(T(x))=S(Ax)=A−1(Ax)=x。于是TTT是可逆的。

例：
设T:Rn→RnT:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^nT:Rn→Rn是一对一线性变换，则TTT会如何？
解：

TTT的标准矩阵AAA的列是线性无关的，所以根据可逆矩阵定理，AAA是可逆的，而且TTT把Rn\mathbb R^nRn映上到Rn\mathbb R^nRn，所以，TTT为可逆。

思考

可逆矩阵有两大特性：

可逆矩阵一定是方阵
可逆矩阵对应的线性方程存在唯一解

正是这两个特性，让可逆矩阵和之前学到的一些概念很好的关联了起来，例如主元位置、线性无关、空间变换等等概念，线性代数中一个主要的任务就是寻找不同概念之间的等价性。

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