势函数法（一种确定性的非线性分类方法）

2024-05-27 16:12:20

势函数的目的

用势函数的概念来确定判别函数和划分类别界面。

基本思想

1.假设要划分属于两种类别ω1和ω2的模式样本，这些样本可看成是分布在n维模式空间中的点xkx_kxk。
2.把属于ω1的点比拟为某种能源点，在点上，电位达到峰值。
3. 随着与该点距离的增大，电位分布迅速减小，即把样本xkx_kxk附近空间x点上的电位分布，看成是一个势函数K(x,xk)K(x, x_k)K(x,xk)。
4.对于属于ω1的样本集群，其附近空间会形成一个“高地”，这些样本点所处的位置就是“山头”。
5. 同理，用电位的几何分布来看待属于ω2的模式样本，在其附近空间就形成“凹地”。
6. 只要在两类电位分布之间选择合适的等高线，就可以认为是模式分类的判别函数。

判别函数的产生

模式分类的判别函数可由分布在模式空间中的许多样本向量xk,k=1,2,…且{x_k, k=1,2,…且 }xk,k=1,2,…且的势函数产生。
任意一个样本所产生的势函数以K(x,xk)K(x, x_k)K(x,xk)表征，则判别函数d(x)d(x)d(x)可由势函数序列K(x,x1)，K(x,x2)，…K(x, x_1)， K(x, x_2)，…K(x,x1)，K(x,x2)，…来构成，序列中的这些势函数相应于在训练过程中输入机器的训练模式样本x1，x2，…。x_1，x_2，…。x1，x2，…。
在训练状态，模式样本逐个输入分类器，分类器就连续计算相应的势函数，在第kkk步迭代时的积累位势决定于在该步前所有的单独势函数的累加。
以K(x)K(x)K(x)表示积累位势函数，若加入的训练样本xk+1x_k+1xk+1是错误分类，则积累函数需要修改，若是正确分类，则不变。

第二类势函数

势函数的选择

用第二类势函数，当训练样本维数和数目都较高时，需要计算和存储的指数项较多。
正因为势函数由许多新项组成，因此有很强的分类能力。

选择势函数的条件：

一般来说，若两个n维向量xxx和xkx_kxk的函数K(x,xk)K(x, x_k)K(x,xk)同时满足下列三个条件，则可作为势函数。
K(x,xk)=K(xk,x)K(x, x_k)=K(x_k, x)K(x,xk)=K(xk,x)，并且当且仅当x=xk时达到最大值；
当向量x与xk的距离趋于无穷时，K(x,xk)K(x, xk)K(x,xk)趋于零；
K(x,xk)K(x, x_k)K(x,xk)是光滑函数，且是x与xkx与x_kx与xk之间距离的单调下降函数。

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