【IQ题】三人行组合问题

问题来自阿里巴巴技术岗位的一道笔试题:

有个学校的15个女生一直3个一群上学。请问该如何安排才能使这些女生每周7天每天都和两个不同的同伴结伴同行呢？例如：用A到O来标识这些女孩，7天A正好和B到O这14个女孩各同行一次。而B到O每个人和都和其他14个女孩各同行一次。

这道问题看起来好像挺简单的,但做起来真好不搞.研究了两个小时,总结一下...

其实解题思路就是要你找出所有的三人组合,而且这个三人组合里面不能有重复过的两人组合.

15×14×13

三人组合所有情况:C³_{15=------------------ = 35 × 13 种}

_3×2×1

但是,三人组合显然不是我们想要的,因为里面有太多的重复了

题目要的就是每两个人之间在一起只出现过一次,所以先考虑二人组合

15×14

二人组合所有情况:C²_{15=------------------ = 15 × 7 种}

_2×1

就好比如题目的A~O标号同学,对于二人组合,就有

AB,AC,AD,AE,AF,AG.......AM,AO;

BC,BD,BE,BF,BG......BM,BO;

.........

NM,NO;

MO;

然后通过研究得出了以下几点结论:

结论1.

三人行, 说明是这三个人的组合,是三个组合, 而且成为了一个环.

就比如 ABC 这三个同学吧, 他就是AB,BC,AC这三个组合而来的一个环.

同样,ADE这三个同学,就是有二人组合可能性里面的AD,DE,AE构成的.

至于为什么要说他是一个环?

这个很重要,真的.......我一开始忽略了一点,就随便拿起来就组合...结果多出了几个剩男剩女..(不

上面题目说了,组合只能出现一次,

比如你最后多出了EI,FH,CE,CH,BF,BI,这里六个组合,理应还能再组成两队人的.

可惜不成环,所以就失败了.

结论2.

三人行问题,先求出二人组合,二人组合搭配数整除3,得出的就是可行的不同组合.

题目的15人求三人行.二人组合有105种,除3之后就是最多有35个环,刚好5组×7天 =35

题目得解.

不能整除3的话,呵呵!

结论3.

每一个三人组合,是三个二人组合连接而成.同时,每一个同学,在这三个二人组合里面,都出现了2次.

比如ABC这个三人组合,是由AB,AC,BC这三个二人组合而来的.同时A出现了2次,B出现了2次,C也出现了2次...

听上去好像很白痴的结论,其实这个很重要.

我就换个问题说吧,假如把题目的15个人改成6个人里面求三人行的组合呢?

咋一算,

6×5

二人组合所有情况:C²_{15=------------------ = 3 × 5 种}

_2×1

再除以3,得到5个环.按照结论2来说应该有5个环,就是可以有五种组合才对.

可不,你可以尝试用ABCDEF这六个代号去试试画连通图.

假如ABC成了一个环, ADE成了一个环, AF就是剩男剩女了.

上面就说了,一个环内的一个代号至少出现两次.

ABC中A在AB,AC出现. ADE中在AD,AE中出现.

那么AF无论跟谁怎么组合,都不可能成环了.

所以结论就是总人数必须是奇数才不会有人多出来.

解决方法这么一来就有很多了,可以用广度搜索树,可以用队列,也可以用图...

为了怕麻烦就换个简单点的数据.比如9个人求三人行的组合可能情况.

首先 ,根据结论1

9×8

二人组合所有情况:C²_{9=------------------ = 36 种}

_2×1

由结论2得出 36÷3=12 ,说明理应可以构成12个环

9个人是奇数,也满足结论三.

标号 ABCDEFGHI

组合的可能情况

ABC ADE AFG AHI

BDF BEI BGH (第二个为啥不是BEG呢,因为BHI是不行的,要跳着来组合,学着点)

CDH CEG CFI

DGI EFH

15×14×13

三人组合所有情况:C³_{15=------------------ = 35 × 13 种}

_3×2×1

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