nssl 1454 2018CodeM总决赛最短路

DescriptionDescriptionDescription

一个长度为nnn的序列，第iii个位置的人可以跳到[ai,i)[a_i,i)[ai,i)的任何一个位置
在第[bi,i)[b_i,i)[bi,i)位置的人可以跳到iii，设第iii个位置跳到第jjj个位置的最小步数为dist(i,j)dist(i,j)dist(i,j)
对于所有的i≠ji\neq ji=j求dist(i,j)×(i+j)dist(i,j)\times (i+j)dist(i,j)×(i+j)的亦或和

数据范围：n≤6000n\leq 6000n≤6000

SolutionSolutionSolution

首先假设三个位置i<j<ki<j<ki<j<k

如果iii能跳到kkk，那么jjj也一定能跳到kkk
所以如果jjj要去kkk，它一定不会先去iii再去kkk，而是直接去kkk

所以最优方案一定是先往后跳若干步（可以不跳），再往前跳

于是我们设起点为iii时，往后跳到jjj的最小步数为dist[j]dist[j]dist[j]
假设我们已经求好了跳到j−1j-1j−1的方案，现在要求跳到jjj的
我们可以维护一个下标单调递增的单调栈，这样一来后面进来的一定是位置靠后的
于是我们把不能跳到jjj的全部弹出去，找到最后一个可以跳到jjj的，并加上，此时栈的大小就是跳跃的最小步数dist[j]=topdist[j]=topdist[j]=top

由于我们的jjj是向后扫描的，所以一定满足单调性，这样做是O(n)O(n)O(n)的

接着求完了跳到后面的，我们开始求跳到前面的，也就是dist1∼i−1dist_{1\sim i-1}dist1∼i−1这部分
我们要知道一件事，从跳的步数尽量少的往前跳，先更新的一定更优
所以我们把distj∈[i+1,n]dist_{j\in[i+1,n]}distj∈[i+1,n] 放入对应的vectorvectorvector，然后更新，这样一来先更新到的一定是更优的
如果中途有更新，记得放进去，让其可以继续跳

用并查集维护一下没有被更新的点，由于每个点只会被最优的点更新到一次，所以往前跳的复杂度是O(nα(n))O(n\alpha(n))O(nα(n))，其中α(n)\alpha(n)α(n)可以看做常数

加上枚举的iii，总时间复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)

CodeCodeCode

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
using namespace std;int n,a[6010],b[6010],f[6100],dist[6010],st[6010],top,ans;
inline int find(int x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
vector<int>q[6010];
inline long long read()
{long long d=1,f=0;char c;while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;return d*f;
}
signed main()
{n=read();a[1]=1;b[1]=1;for(register int i=2;i<=n;i++) a[i]=read();for(register int i=2;i<=n;i++) b[i]=read();for(register int i=1;i<=n;i++){for(register int j=0;j<=n;j++) {f[j]=j;dist[j]=n+1;//初始化并查集和distq[j].clear();}dist[i]=0;st[top=0]=i;q[0].push_back(i);//一开始从i开始跳for(register int j=i+1;j<=n;j++){while(top>0&&st[top-1]>=b[j]) top--;//如果前一个点可以跳到，那么把后面的点踢掉st[++top]=j;//放入新的点dist[j]=top;q[top].push_back(j);//把top步可以去到的点记录下来}for(register int j=0;j<=n;j++)//步数从小到大枚举for(register int k=0;k<q[j].size();k++)//找出点来for(register int l=find(q[j][k]-1);l>=a[q[j][k]];l=find(l-1))//往前更新{if(dist[l]>j+1) dist[l]=j+1,q[j+1].push_back(l);//注意此时j+1步可以跳到l，也要更新！f[l]=l-1;//连向前一个点表示这个点已经废了}for(register int j=1;j<=n;j++) if(i!=j) ans^=(i+j)*dist[j];//计算答案}printf("%d\n",ans);
}