写在前面

这次的模拟赛，又爆炸了……（为什么自己每次都会有很多的失误，有点难过。）

这次出现的问题：

第一题中，注意在做除法的时候前面的被除数是不可以进行取模的操作，因为除法的取模是不满足同模原理的,要注意什么时候做除法；
第一题中，注意如果是两个longlong在取模之后也可能是会爆掉longlong的，所以我们要用大整数乘法。
第二题中，我的sort 死掉了。注意sort是左闭右开的操作，所以，当你要排序[l,r]中间的数字的时候，sort中应该是sort(a+l,a+r+1);;
在第三题的时候，思路错误。自己想的是求出次短路，但是实际上，——<>——最短路和次短路之间是可能有相同的边的，那么当我删掉这条共同的边的同时，最短路和次短路就都是不合法的答案。

调整自己的状态，加油！

正文

第三题好毒瘤，至今不会……

第一题

求和
【问题描述】
一个无限大的二维矩阵d，满足di,j=i+j−1d_i,j=i+j-1di,j=i+j−1。再给定x1,y1,x2,y2x_1,y_1,x_2,y_2x1,y1,x2,y2，你需要求出矩阵d在以x1,y1x_1,y_1x1,y1为左上角、x2,y2x_2,y_2x2,y2为右下角的矩形内的元素和，即需要求出∑i=x1x2∑i=y1y2di,j\sum^{x2}_{i=x1}\sum^{y2}_{i=y1}d_i,j∑i=x1x2∑i=y1y2di,j的值。为了避免大规模的输出，你只需要输出答案对一个给定的大整数m取模后的结果。
【输入文件】
一行五个正整数x1,y1,x2,y2,mx_1,y_1,x_2,y_2,mx1,y1,x2,y2,m
【输出文件】
输出一个整数，为所求的答案对m取模后的结果。
【输入输出样例】
square.in
2 1 5 3 10007
square.out
54
【数据规模和约定】
对于20%的数据，满足x2,y2,m≤1000x_2,y_2,m≤1000x2,y2,m≤1000。
对于40%的数据，满足x2,y2,m≤100000x_2,y_2,m≤100000x2,y2,m≤100000。
对于70%的数据，满足x2,y2,m≤109x_2,y_2,m≤10^9x2,y2,m≤109。
对于100%的数据，满足1≤x2,y2,m≤1018，1≤x1≤x2，1≤y1≤y21≤x_2,y_2,m≤10^{18}，1≤x_1≤x_2，1≤y_1≤y_21≤x2,y2,m≤1018，1≤x1≤x2，1≤y1≤y2。

题解

【简要题解】
首先，我们可以把问题转化为求一个左上角为1,1，左下角为n,m的子矩形的和，通过差分即可完成这一步操作。
容易推出，上面的问题的答案为(n×m×(n+m))2\frac{(n×m×(n+m))}{2}2(n×m×(n+m))。将公式代入即可得到70%的分数。

如下图：
n行{123⋯1+n−1234⋯2+n−1⋮⋮nn+1n+2⋯m+n−1⏟m项\text{n行}\begin{matrix}\underbrace{ \left\{ \begin{matrix}1&2&3&\cdots&1+n-1\\2&3&4&\cdots&2+n-1\\\vdots&&&&\vdots\\n&n+1&n+2&\cdots&m+n-1\end{matrix}\right. }\\\text{m项}\end{matrix}n行⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧12⋮n23n+134n+2⋯⋯⋯1+n−12+n−1⋮m+n−1m项

我们可以发现，对于相对的数字加起来的值是定值（m+n），一共有m∗n2\frac{m*n}{2}2m∗n个数字，所以最后的答案就是(n×m×(n+m))2\frac{(n×m×(n+m))}{2}2(n×m×(n+m))。

对于最后30%，乘法操作会超出2^64，不能直接相乘取模。我们可以使用高精度来解决这个问题，也可以把乘法操作看作很多次加法操作，利用快速幂的思想予以解决（大整数乘法）。

第二题

分组配对
【问题描述】
在一个班级中，恰好有n名男生和n名女生。为了便于管理，老师给这n名男生和n名女生分别从1到n进行编号。
某一天，老师在班级里开展了一项游戏。这个游戏需要将班级里的同学分成若干个不同的小组，且每个小组中需要同等数量的男生和女生。每个小组中，每一名男生需要和一名同小组的女生进行配对搭档，来完成游戏中的任务。一名男生不能和多名女生进行配对，一名女生也不能和多名男生进行配对。
老师决定采用一种比较简便的方式对全班同学进行分组：按编号顺序进行划分。具体来说，老师会确定若干个区间[l1,r1],[l2,r2],…,[lk,rk][l_1,r_1 ],[l_2,r_2 ],…,[l_k,r_k ][l1,r1],[l2,r2],…,[lk,rk]，满足l1=1，rk=n，li=r(i−1)+1(1<i≤k)l_1=1，r_k=n，l_i=r_(i-1)+1(1<i≤k)l1=1，rk=n，li=r(i−1)+1(1<i≤k)，编号处于同一个区间的男生和女生分为一组。
为了让游戏保证尽量公平，老师希望没有哪一个小组的实力过于突出。具体来说，每名同学都有一个正整数实力值，用来衡量一名同学的能力大小。当一名实力值为a和一名实力值b的女生进行配对时，这一对同学的实力值就会是a×b。而一个小组的综合实力就是这个小组中每一对同学的实力值的和。为了保证不出现综合实力过高的小组，老师希望在分组后，不论小组内如何配对，每个小组的综合实力都不会超过一个给定值M。
最后，为了缩短游戏进行的时间，老师希望所分的小组数量尽可能少。你需要帮助他求出：在满足上述分组规则的情况下，最少的小组数量是多少？
【输入文件】
输入文件第一行为两个正整数n,M。
接下来两行，第一行为n个正整数a1ana_1~a_na1 an，其中aia_iai表示编号为i的男生的实力值；第二行为n个正整数b1bnb_1~b_nb1 bn，其中bib_ibi表示编号为i的女生的实力值。
【输出文件】
输出一个整数，为最少的小组数量。输入数据保证至少存在一种满足分组规则的分组方式。
【输入输出样例】
pair.in
3 50
6 7 2
6 3 5
pair.out
2
【数据规模和约定】
对于10%的数据，满足n≤10。
对于30%的数据，满足n≤1000。
对于50%的数据，满足n≤10000。
对于70%的数据，满足n≤100000。
对于100%的数据，满足1≤n≤500000，1≤ai,bi≤100000,1≤M≤10151≤n≤500000，1≤a_i,b_i≤100000, 1≤M≤10^{15}1≤n≤500000，1≤ai,bi≤100000,1≤M≤1015。

题解

首先，容易发现一个小组内的最优配对方式（能得到最大综合实力的方式）为：实力值最大的男生和最大的女生配对，次大的和次大的配对，以此类推。

接着，容易发现：在小组内增加一男一女，小组的最大综合实力值一定上升。以此我们容易得到一种贪心的分组方式：从编号1的人开始向后考虑，尽可能把人放进同一组，直到放下一对男生女生后最大综合实力值会超过M。用如此方法确定第一组，然后类似地确定第二组、第三组，直到分到最后一组。

一个比较麻烦的问题是，在小组内增加一男一女后，最大综合实力值并不方便快速统计。这意味着增量法不能使用。因此，我们可以用倍增+二分的方式来处理这个问题。对于每一组，考虑这组大小为1,2,4,…,2p1,2,4,…,2^p1,2,4,…,2p时，最大综合实力值都没有超过M，但组大小为2(p+1)2^{(p+1)}2(p+1)时最大综合实力值会超过M，那么这组的最大大小应该在2p2(p+1)−12^p~2^{(p+1)-1}2p 2(p+1)−1内。在此范围内进行二分即可。这样，当实际组大小是k时，时间复杂度应为O(klog2k)O(klog^2 k)O(klog2k)。则总时间复杂度不超过O(nlog2n)O(nlog^2 n)O(nlog2n)。

补充：由于这道题中的二分会被卡，（如果我构造一组数据是每一个都是长度为1的区间，那么，此时的二分还不如枚举……），所以，我们可以考虑倍增加速。

第三题

不会……

城市游戏
【问题描述】
小A和小B正在进行一个游戏。这个游戏开展于一个城市中。城市中总共包含n个路口，从1到n进行编号。某些路口之间连接着具有一定长度的双向道路，道路总共有m条。
小A正在这个城市的1号路口，想要移动到n号路口。小B的目标是尽可能阻止小A。他的阻止方法是：在小A位于某个路口上时，永久地封闭城市中的一条道路。
如果小B使用封闭道路的权力只有一次，你需要求出：在此基础上，如果小A和小B都使用最佳策略（即小A希望他走到n号路口的总距离尽量小，小B希望小A的移动总距离尽量大），小A走到n号路口所需要移动的总距离是多少？
【输入文件】
第一行，两个整数n,m。
接下来m行，每行三个整数u,v,l，描述了一条道路连接的两个路口的编号以及道路的长度。
【输出文件】
输出一行一个整数，为所求的答案。若小A不能到n达号点，输出-1。
【输入输出样例】
city.in
4 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
1 4 1
city.out
3
【数据规模和约定】
对于20%的数据，满足n≤200，m≤1000
对于40%的数据，满足n≤1000，m≤2000
对于70%的数据，满足n≤3000，m≤10000
对于100%的数据，满足1≤n≤100000，1≤m≤200000，道路长度为不超过10^9的正整数。

有一个错误的算法：求出次短路。

code

第一题

这一个代码，并不是用的上面的结论，而是自己在考场上推出来的，在规定的矩阵中，可以把每一行的数字用等差数列累加，之后再求出每一行的累加。
等差数列求和的公式：S=a1∗n+n∗(n−1)2S=a1*n+\frac{n*(n-1)}{2}S=a1∗n+2n∗(n−1)
注意：对于除以2而言，我们要特殊处理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef unsigned long long ll;ll x1, x2, s1, s2, MOD;
ll sum1, sum2, sum;ll mul(ll a,ll b)
{ll ans=0;while(b){if(b&1) ans=(ans+a)%MOD;a=(a+a)%MOD;b>>=1;}return ans%MOD;
}int main()
{freopen("sum.in","r",stdin);freopen("sum.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x1,&s1,&x2,&s2,&MOD);ll dx=x2-x1+1, dy=s2-s1+1;/*求出行数和列数，因为后面有/2，所以不可以在这里取模*/if(dy%2==0) sum1=mul(dx, mul(dy/2, dy-1))%MOD;else sum1=mul(dx, mul(dy, (dy-1)/2))%MOD;sum=(mul(x1+s1-1, dx))%MOD;/*a1*n*/ if(dx%2==0)    sum2=(mul(dy, sum%MOD+mul(dx/2, dx-1)))%MOD;else  sum2=(mul(dy, sum%MOD+mul(dx, (dx-1)/2)))%MOD;sum=(sum1%MOD+sum2%MOD)%MOD;printf("%lld\n",sum%MOD);return 0;
}

第二题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int nn=500003;
typedef long long ll;int n, a[nn], b[nn], cnt=0;
int c[nn], d[nn];
ll M;inline int read()
{int x=0,f=1; char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}return x*f;
}inline bool cmp(int a,int b) {return a>b;}inline bool check(int l,int r)
{ll sum=0;for(int i=l;i<=r;++i) c[i]=a[i], d[i]=b[i];sort(c+l,c+r+1,cmp), sort(d+l,d+r+1,cmp);/*注意是左闭右开的区间*/for(int i=l;i<=r;++i){sum+=(ll)c[i]*d[i];if(sum>M) return false;}return true;
}int main()
{freopen("pair.in","r",stdin);freopen("pair.out","w",stdout);scanf("%d%lld",&n,&M);for(int i=1;i<=n;++i)   a[i]=read();for(int i=1;i<=n;++i)   b[i]=read();int L=1, R=0;while(R<n){int p=1;for(;L+p<n;p*=2)/*倍增的是区间的长度*/if(!check(L,L+p)) break;/*此时出来的p是不合法的*/int l=L+p/2, r=L+p, mid;while(l<r){mid=(l+r+1)>>1;if(check(L,mid)) l=mid;else r=mid-1;}R=l, cnt++; L=R+1;}cout<<cnt<<endl;return 0;
}

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第一题

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第二题

题解

第三题

code

第一题

第二题

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