一个无穷开根号数列的收敛性

见到北京大学的数学分析专业期末考试题，发现一道都不会做。试题不算太难，很多数学技巧不知道或忘记了。有一道数列收敛性试题。
an=1+2+3+⋯+nnnnna_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\sqrt[n]{3+\dots+\sqrt[n]{n}}}}an=n1+n2+n3+⋯+nn

解：收敛性需要放大或缩小，将其放大
an≤n+n+n+⋯+nnnnna_n\leq \sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n+\dots+\sqrt[n]{n}}}}an≤nn+nn+nn+⋯+nn

利用一个性质：
n+2n<2\sqrt[n]{n+2}< 2nn+2<2
因此，从右面最里层往外递推：
an≤n+2na_n\leq \sqrt[n]{n+2}an≤nn+2

显然 an≥1a_n\geq 1an≥1，根据夹逼定理，当 n→∞n\rightarrow\inftyn→∞ 时，
an→1a_n\rightarrow 1an→1

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