龙格库塔法

龙格库塔法对于一个工科学生来说估计并不陌生，因为我们做项目的时候或多或少会接触到微分方程，解微分方程的数值解是就需要用到龙格库塔方程了。我第一次接触到该方法是对四轴姿态角进行四元数解算的时候，当时用的是一阶龙格库塔，当时的理解就是这不就是泰勒展开式取一阶嘛，然后觉得二阶龙格库塔应该就是取二阶了，依次类推，所以当时没有深入的了解，现在因为遇到这方面的问题所以重新把他学了一遍。
准确的说，高阶龙格库塔法是借用了泰勒展开式的思想，但是和泰勒展开式还是有区别的。下面我对龙格库塔法讲讲我的理解。
首先，龙格库塔的一般形式如下：

首先，我们可以知道一阶龙格库塔法的表达式

上述式子可以改写成如下式子

这里我们可以看成k是在步长为h情况下，函数的增长量，f（x,y）为函数y的斜率。这个式子其实比较好理解的。

然后我们来看二阶龙格库塔的推导过程：

二阶情况下一般表达式中就只有k1和k2了，二阶龙格库塔我们可以看成是一阶表达式的一个变形，由原来的一个k变成了k1,k2，用k1,k2来表示k，c1和c2相当于k1和k2所占的权重一样，这样理解是不是好一点。那k1和k2分别表示什么？？其实k1表示xi点处的增长量，k2表示的是xi+a2*h处的增长量。在这基础上，因为c1、c2、a2和是未知量。我们需要将其求出来，下面是我的推导过程：

这样二阶龙格库塔的迭代式子就可以表达出来了，写完收工。

然而如果你想你的数值解更加精确的话，你就需要更高阶次的龙格库塔迭代式，一般而言，四阶是最经典的，用的也是最多的。本来我想把四阶的参数也算一遍，但是工程量巨大，我放弃了。我尝试了一下3阶的参数推导，推导一半，我还是放弃了，我把我推到一半的过程也写出来，希望有人帮我弄出来，本人实在没有勇气。

这里把k1,k1k2,k2平方带入式子中，我感觉非常人能及的，高中学的解析几何感觉都不算什么？？

这里有一个需要注意的地方，图片中我用红笔标注了，由于三阶龙格库塔的阶段误差为，意思就是多项式中存在h的次数大于等于4的都可以忽略，这可能会大大减少我们的计算量，但是还是好难。

最后给出一个四阶龙格库塔算迭代表达式：

龙格库塔法求微分方程相关推荐

【算法基础学习 6】龙格库塔法求微分方程
龙格库塔法龙格库塔法对于一个工科学生来说估计并不陌生,因为我们做项目的时候或多或少会接触到微分方程,解微分方程的数值解是就需要用到龙格库塔方程了.我第一次接触到该方法是对四轴姿态角进行四元数解算的时 ...
matlab求微分方程同届,Matlab学习——求解微分方程(组)
介绍: 1.在 Matlab 中,用大写字母 D 表示导数,Dy 表示 y 关于自变量的一阶导数,D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数,依此类推.函数 dsolve 用来解决常微分方程(组)的求解问 ...
matlab求微分方程精确解,matlab求微分方程精确解及近似解.ppt
matlab求微分方程精确解及近似解.ppt 还剩 24页未读, 继续阅读下载文档到电脑,马上远离加班熬夜! 亲,喜欢就下载吧,价低环保! 内容要点: 求微分方程的解q 自牛顿发明微积分以来,微分方 ...
方程求解的实验 matlab,matlab 实验四　求微分方程的解
实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程,绝大多数都是微分方程,真正能得到代数方程的机会很少．另一方面,能够求解的微分方程也是十分有限的,特别是高阶方程和偏微分方程(组)．这就要求我们必须研究微分方 ...
matlab图像导数求积分_第二讲matlab求微分方程导数积分
第二讲matlab求微分方程导数积分第二讲导数与微分方程一.实验内容 1.实际引例 (牛顿冷却模型)警察上午9点钟发现一被谋杀者,并测得尸体温度为32.4℃,一小时以后,尸体的温度变为31.7 ...
matlab研究微分方程,matlab求微分方程的解.doc
matlab求微分方程的解.doc matlab求微分方程的解一.问题背景与实验目的二.相关函数(命令)及简介三.实验内容四.自己动手一.问题背景与实验目的实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程, ...
matlab求微分方程同届,matlab求微分方程精确解及近似解.ppt
matlab求微分方程精确解及近似解求微分方程的解问题背景和实验目的 Euler 折线法初值问题的Euler折线法 Euler 折线法举例 Euler 折线法源程序 Euler折线法举例(续) ...
Matlab求微分方程的数值解
注:首先计算微分方程的解析解,如果发现没有解析解,再用数值解一.Matlab中求微分方程的数值解函数 [x,y]=solver('f',ts,x0,options) 1)x代表自变量 2)y代表函数 ...
matlab szj,matlab求微分方程的解实验报告4.doc
matlab求微分方程的解实验报告4 <matlab与数学实验>实验报告实验序号: 实验四日期: 2015年 5 月 25 日班级 132132002姓名彭婉婷学号 132132005 ...

龙格库塔法求微分方程

龙格库塔法

龙格库塔法求微分方程相关推荐

最新文章

热门文章