[数据结构与算法] 学习记录合辑 (07) 图

该合辑为笔者自b站自学的“C++数据结构与算法”课程学习记录，旨在将重要的学习要点、思考内容与部分代码进行记录，以便后续自行翻看，亦可给其他读者带来一些参考

内容基于笔者自身的理解或感悟，可能存在不妥当或是错误之处

系统环境：Win10，Visual Studio 2019

文中图片参考东北大学“数据结构与算法设计” (2020) 线上课程讲义

1. 图相关术语

2. 图的表示

3. 图的遍历

4. 最小生成树

5. 最短路径算法

6. 网络活动问题

图相关术语

名词解释

一个图的数据结构可以抽象的表示为 G = （V，E），其中G代表Graph（图），V代表Verfices（顶点或元素），E代表Edge（边或关系）

图分为 无向图（undirected）与 有向图（directed），无向图的两元素间关系不分方向，例如互为同学关系，而有向图强调方向，例如若干地点间的航班航向（可以是单向也可以是双向），其中元素间的无向边也可以用两条有向边来表示

完全图（complete graph）即为任两元素之间均有关系的图，也分为有向完全图和无向完全图，其中无向完全图的关系数量为 n(n-1) / 2，有向完全图的关系数量为 n(n-1)

weight / cost （权）元素间的关系可以拥有权重来抽象的表示一些信息，例如一种有向图元素A指向元素B，该关系用权重10来表示A距离B点有10公里的路程，或用权重500来表示从A地到B地要花费500元路费等

带有权重的图可以被称作 网络（network）

degree（度）用来表示与某一顶点相关联的边的个数，还分为 入度（in - degree）与 出度（out - degree），分别表示从该点出发和进入的边的个数（仅有向图）

path（路径）从一点到另一点所经过的顶点序列

length of path 路径长度（可带权）相加

loop（回路）首尾相连的路径

simple path（简单路径）顶点不重复的路径

acyclic graph（无环图）图中没有回路

acyclic directed graph（无环有向图）图中没有回路的有向图

connected graph（连通图）任意两顶点间都有路径的无向图

strongly connected graph（连通图）任意两顶点间都有路径的有向图

connecter component（连通分量）最大连通的子图

spanning tree（生成树）对连通图进行遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是一棵普通树，通常称为生成树。连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件：

包含连通图中所有的顶点；
任意两顶点之间有且仅有一条通路；

spanning forest（生成森林）非连通图的各连通分量的生成树的总和

图的表示

在内存中存储图

常见的有两种方法：Adjacency Matrix（邻接矩阵）和 Adjacency List（邻接表）

Adjacency Matrix（邻接矩阵）

若有n个节点，则用边长为n的矩阵来表示节点之间的关系，共花费n^2个存储空间，关系矩阵中，主对角线元素恒为零，因为节点与自身无需用关系来表示，另，无向图的邻接矩阵沿主对角线对称

若用邻接矩阵来表示Network（有向，有权），则用 “0” 表示无关，用常量 “C” 来表示权值（例如0.5、1、5、24 等），用无穷符号 “∞” 来表示无关

因矩阵的特性，使其在表示元素间关系时的空间复杂度达到了 O(n^2)，其在对于稠密矩阵表达时还较为理想，当面对稀疏矩阵时，则浪费了许多空间

Adjacency List（邻接表）

接上述所言，面对稀疏情况时，我们希望减少对内存空间的浪费，因此可以选择邻接表的方式对图进行表示，其空间复杂度可以优化到 O(n)

一般情况下，为了更为方便的找到某节点的出、入节点，用两个邻接表来表示一个图，分别为 出边表 和 入边表 ，此种方式牺牲内存空间取得了更高的查找效率

矩阵方式与表方式的相关操作复杂度等级如下图所示：

图的遍历

遍历图中的各个元素

一般有两种方式： depth first（深度优先）与 breadth first（广度优先）遍历，两种方法在所有元素已经在内存中有固定的位置关系时，遍历结果均唯一确定

前者利用递归与回退方法对元素进行遍历，优先对深度进行遍历：

深度优先遍历的时间复杂度：

O(n+e) （list）

O(n^2) （martrix）

后者优先对广度进行遍历：

广度优先遍历的时间复杂度：

O(e) （list）

O(n^2) （martrix）

最小生成树

生成树中权值和最小的那颗

前面有介绍生成树，而最小生成树就是生成树中所有路线的权值和加起来最少的那一颗，另强调一下，如果有n个顶点，则最小生成树应有n-1个边，且无环

Kruskal's Algorithm

算是一种贪心算法，先将所有边依据权值由小到大排列，再依次添加，如某次添加使得该树成环，则放弃此次添加，转而尝试下一条边，以此类推，直至达到n-1个边

利用小根堆和并查集实现相关算法设计，如有e个边，时间复杂度达到 O(e*loge)

Prim's Algorithm

选取权值最小边的其中一个顶点作为起始点
找到离当前顶点权值最小的边，并记录该顶点为已选择
重复第二步，直到找到所有顶点，就找到了图的最小生成树

最短路径算法

两点之间有的时候没法儿走直线

求一个图中两顶点间的带权最短路径，放到生活中可能就是求地点之间的路径距离等等问题

Dijkstra's Algorithm

先确定一个点，再进行n-1步，每步都确定该点与其余n-1个顶点之间的最短距离，其缺点是只能体现图中某一个单一的点离其他顶点间的最短路径，时间复杂度为 O(n^2)

Floyd's Algorithm

与上述方法不同的是，该方法可以记录任两个顶点间的最短距离

网络活动问题

有向无环图相关问题

在有向无环图中，用顶点代表活动，用边代表其先后顺序，解决相关问题（如大部分大学必修课程都要建立在一定前驱课程的学习基础上，因此要先学基础，再学专业课）

Topological Sort

顶点间不能确定明显的先后顺序关系时，由人为强行确定其顺序关系并最终表示输出序列（可能不唯一），其步骤如下：

挑选入度为0的节点
将该节点放入序列中
删除该节点与该节点所有的边，再进行第一步，直至所有点都被置入序列

该算法时间复杂度为 O(n+e)

Activity On Edge Network (AOE网络)

用边来表示活动，顶点来表示事件，有两个特殊的名词：

关键路径：整个图中由起点至终点花费权重最大的一条路径

关键活动：关键路径上的所有活动边

关键活动的最迟发生时间和最早发生时间相同，不容片刻耽搁，工程中应用到的关键路线法（CPM）就采用了该表示方法与计算思想

该算法时间复杂度亦为 O(n+e)

The End

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