时域卷积定理的证明 | 卷积的傅里叶变化等于傅里叶变换的乘积

∫Rf∗gexp⁡(−2πizv)dz=∫R∫Rf(x)g(z−x)dxexp⁡(−2πizv)dz=∫R∫Rf(x)g(z−x)exp⁡(−2πizv)dzdx=∫R∫Rg(z−x)exp⁡(−2πizv)dzf(x)dx=令z−x=t∫R∫Rg(t)exp⁡(−2πi(t+x)v)dtf(x)dx=∫R∫Rg(t)exp⁡(−2πitv)dtf(x)exp⁡(−2πixv)dx=∫Rg(t)exp⁡(−2πitv)dt∫Rf(x)exp⁡(−2πixv)dx\begin{aligned} \int_R f*g\exp(-2\pi izv){\rm d}z&=\int_R\int_Rf(x)g(z-x){\rm d}x\exp(-2\pi izv){\rm dz}\\ &=\int_R\int_Rf(x)g(z-x)\exp(-2\pi izv){\rm dz}{\rm d}x\\ &=\int_R\int_Rg(z-x)\exp(-2\pi izv){\rm dz}f(x){\rm d}x\\ &\xlongequal{\text{令}z-x=t}{}\int_R\int_Rg(t)\exp(-2\pi i(t+x)v){\rm d}tf(x){\rm d}x\\ &=\int_R\int_Rg(t)\exp(-2\pi itv){\rm d}tf(x)\exp(-2\pi ixv){\rm d}x\\ &=\int_Rg(t)\exp(-2\pi itv){\rm d}t\int_Rf(x)\exp(-2\pi ixv){\rm d}x \end{aligned}∫Rf∗gexp(−2πizv)dz=∫R∫Rf(x)g(z−x)dxexp(−2πizv)dz=∫R∫Rf(x)g(z−x)exp(−2πizv)dzdx=∫R∫Rg(z−x)exp(−2πizv)dzf(x)dx令z−x=t∫R∫Rg(t)exp(−2πi(t+x)v)dtf(x)dx=∫R∫Rg(t)exp(−2πitv)dtf(x)exp(−2πixv)dx=∫Rg(t)exp(−2πitv)dt∫Rf(x)exp(−2πixv)dx

参考资料
卷积定理
乘积的傅里叶变换等于分别做傅里叶变换的卷积乘1/2pi

2022年5月6日17:03:02

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