（POJ-1679）次小生成树模板

原题链接：http://poj.org/problem?id=1679
The Unique MST
Given a connected undirected graph, tell if its minimum spanning tree is unique.

Definition 1 (Spanning Tree): Consider a connected, undirected graph G = (V, E). A spanning tree of G is a subgraph of G, say T = (V’, E’), with the following properties:

V’ = V.
T is connected and acyclic.

Definition 2 (Minimum Spanning Tree): Consider an edge-weighted, connected, undirected graph G = (V, E). The minimum spanning tree T = (V, E’) of G is the spanning tree that has the smallest total cost. The total cost of T means the sum of the weights on all the edges in E’.
Input
The first line contains a single integer t (1 <= t <= 20), the number of test cases. Each case represents a graph. It begins with a line containing two integers n and m (1 <= n <= 100), the number of nodes and edges. Each of the following m lines contains a triple (xi, yi, wi), indicating that xi and yi are connected by an edge with weight = wi. For any two nodes, there is at most one edge connecting them.
Output
The first line contains a single integer t (1 <= t <= 20), the number of test cases. Each case represents a graph. It begins with a line containing two integers n and m (1 <= n <= 100), the number of nodes and edges. Each of the following m lines contains a triple (xi, yi, wi), indicating that xi and yi are connected by an edge with weight = wi. For any two nodes, there is at most one edge connecting them.
Sample Input
2
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 2
Sample Output
3
Not Unique!

题解：题目意思是问我们MST是否唯一，唯一输出MST的值，否则输出Not Unique!

通过给出第二个例子（如下图）：明显不唯一

在网上看了好多贴总结了两句话：
1.枚举每条边不是最小生成树上面的边，并把这条边放在最小生产数上面，一定会形成环，那么在这个环路上去取一条最长的路（除了刚刚加入的边），就构成了次小生成树。
2.在1.的基础上，取出的边等于去掉的边，MST不唯一；取出的边大于去掉的边，则可能是次小生成树，枚举所有不在MST的边即可得到次小生产数。

这里不讨论次小生成树，这道题是讨论MST唯不唯一，所以只是借用了次小生生成树的一个推导。

很多人可能和我一样都是不明白别人代码的maxd，所以我在这里从头到尾分析一下maxd怎么来的和maxd用来干嘛。

很多博客上都简单的说了一句：maxd保存i到j的最大边，然后没了，没了。。。。像我这种比较菜的人看了一天，才明白是上面意思。

首先分析怎么来的，先贴一段（prim算法，不懂戳这）代码：

int prim(int s){memset(vis,false,sizeof(vis));memset(maxd,0,sizeof(maxd));for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=mp[s][i];//更新到其他点的距离 pre[i]=s;//初始化父节点为s }dis[s]=0;vis[s]=true;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){int minid=-1;int min=inf;for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]&&dis[j]<min){minid=j;//保存最小点的下标 min=dis[j];//保存最小边的值 }}if(minid==-1)//没找到表示所有点都找完了 return ans;int fa=pre[minid];//存储父节点 vis[minid]=true;ans+=min;//更新MSTconnect[minid][fa]=connect[fa][minid]=false;//表示边在MST上了，不能再用 maxd[fa][minid]=maxd[minid][fa]=min;//找到了一条边，直接更新for(int j=1;j<=n;j++){if(j!=minid){maxd[j][minid]=maxd[minid][j]=max(maxd[j][fa],maxd[fa][minid]);//间接更新 ,更新任意点到minid的最长边 }}//输出打表 /*for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<=n;k++){cout<<maxd[j][k]<<" ";}cout<<endl;}cout<<endl; */for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]&&mp[minid][j]<dis[j]){dis[j]=mp[minid][j];pre[j]=minid;}}}return ans;
}

上面的一段代码是网上的一个模板，具体流程根prim算法差不多，只是多了connect数组和maxd数组connect数组不比多说，就是表示边是否用过。

那么定位maxd的代码：

maxd[fa][minid]=maxd[minid][fa]=min;//直接更新

和

for(int j=1;j<=n;j++){if(j!=minid){maxd[j][minid]=maxd[minid][j]=max(maxd[j][fa],maxd[fa][minid]);//间接更新 }//if}//for

当我们找到一条min边的时候，我们需要直接更新这个步骤，然后一个for循环来个间接更新，究竟有什么作用呢？

我们从头说起：
在推导1中，如果加入一条边生成环，我们去一条MST最长的边，那么我们去哪里取呢，当然取maxd中取，因为前面说的maxd表示任意两点在MST总的最长边，

那么maxd怎么来呢？
我们要去掉的是MST上面的边，所以每次找到一条边则把它加入maxd中，也就是直接更新，
但是我们要取得是环上最长的。

怎么保证环上面最长的呢？
不说特殊的两个点成环，说三个点成环开始，在构建MST时，三个点肯定出现（图上的情况），如果再加一条边，显然成环，刚刚说了要去掉MST上面的最长的边，且存在maxd中，我们假设1为j，2为pre（为父节点），3为minid（为当前节点），那么1…3构成的环，最长的边肯定是1->2或2->3这两条边的其中一条，换成代码的话如：maxd[1][3]=max(maxd[1][2],maxd[2][3])（maxd[j][minid]=max(maxd[j][pre],maxd[pre][minid]），我们这样我们就能得到j到minid的最长边。

再加一个点的时候（如上图），任意两点都有可能构成环，所以我们要求的当前节点到其他节点构成环的最长边。

那么上面我们可以求得1->2为4，是1…3构成环中最长的。那么1…4构成环最长的边显然也是这条，上面我们刚好处理过了，并且存储在maxd[1][3]中，存储着4。那么我们在处理一次maxd[1][4]=max(maxd[1][3],maxd[3][4])的话，就可以得到1…4构成环最长的边，如果我们转换成代码：maxd[j][minid]=max(maxd[j][pre],maxd[pre][minid])，
正是间接操作的部分！！！出来了，终须明白了！！！

五个点，六个点，以此类推。

当然机器无法像人一样直接辨别j,pre是多少，我们可以枚举，把1到n个点，出minid本身之外的点pre的maxd都枚举一遍，和新加入的maxd[pre][minid]比较，这样就可以得到1到n的点到minid构成环的最大值存储在maxd[][minid]列中，那么当prim算法发每加入一个点，就把minid列都更新完，这样当prim算法完成之后，任何两个点构成的最长边就完成了。

for(int j=1;j<=n;j++){if(j!=minid){maxd[j][minid]=maxd[minid][j]=max(maxd[j][fa],maxd[fa][minid]);//间接更新 }
}

如果还不明白的话，你可以打一下maxd表出来，看一下任意两点之间构成的环是不是maxd的值

//输出
for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<=n;k++){cout<<maxd[j][k]<<" ";}cout<<endl;
}

最后在主函数有个判断：

bool over=false;
for(int i=1;!over&&i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(connect[i][j]==false||mp[i][j]==inf)continue;if(mp[i][j]==maxd[i][j]){over=1;break;}}
}

在推导2.中，取出的边等于去掉的边，则MST不唯一，为什么呢，既然加入的边和要去掉的边的值相等，那么就是加入的边可以替换去掉的边，MST就不唯一了如果ij这条边在MST上（connect[i][j]==false）或者ij这条边无限大（mp[i][j]==inf），就不比较了
如果ij这条边不在MST上，且不是无限大，又可以替换MST上面的边（mp[i][j]==maxd[i][j]），那么MST就不唯一了。

AC代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<cmath>
#define maxn 110
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int mp[maxn][maxn];//存储地图
int maxd[maxn][maxn];//存储ij构成环最长的边
bool connect[maxn][maxn];//表示是否在MST上
bool vis[maxn];//表示节点是否访问过
int dis[maxn];//存储到节点的距离
int pre[maxn];//存储父节点
int n,m;
int prim(int s){memset(vis,false,sizeof(vis));memset(maxd,0,sizeof(maxd));for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=mp[s][i];//更新到其他点的距离 pre[i]=s;//初始化父节点为s }dis[s]=0;vis[s]=true;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){int minid=-1;int min=inf;for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]&&dis[j]<min){minid=j;//保存最小点的下标 min=dis[j];//保存最小边的值 }}if(minid==-1)//没找到表示所有点都找完了 return ans;int fa=pre[minid];//存储父节点 vis[minid]=true;ans+=min;//更新MSTconnect[minid][fa]=connect[fa][minid]=false;//表示边在MST上了，不能再用 maxd[fa][minid]=maxd[minid][fa]=min;//找到了一条边，直接更新for(int j=1;j<=n;j++){if(j!=minid){maxd[j][minid]=maxd[minid][j]=max(maxd[j][fa],maxd[fa][minid]);//间接更新 ,更新任意点到minid的最长边 }}//输出打表 /*for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<=n;k++){cout<<maxd[j][k]<<" ";}cout<<endl;}cout<<endl; */for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]&&mp[minid][j]<dis[j]){dis[j]=mp[minid][j];pre[j]=minid;}}}return ans;
}
int main(){int t;cin>>t;while(t--){cin>>n>>m;memset(mp,inf,sizeof(mp));memset(connect,false,sizeof(connect));int x,y,w;for(int i=0;i<m;i++){cin>>x>>y>>w;mp[x][y]=mp[y][x]=w;connect[x][y]=connect[y][x]=true;}int ans=prim(1);bool over=false;for(int i=1;!over&&i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(connect[i][j]==false||mp[i][j]==inf)//看边是否在MST上，判断边的值是否为inf continue;if(mp[i][j]==maxd[i][j]){//如果能替换，MST不唯一 over=1;break;}}    }if(over)cout<<"Not Unique!"<<endl;elsecout<<ans<<endl;}return 0;
}

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