html错位排列,解决“错位排列”问题的一般方法
问题同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有().
A.6种B.9种C.11种D.23种
这个问题等价于:将1,2,3,4这四个正整数分别填入编号为1,2,3,4的四个空位,且每个空位上所填数字与其序号均不相同,问有多少种不同的填法?我们称这样的排列为错位排列.这是一个很复杂的排列问题.下面,我们就来研究解决这类问题的一般方法.
我们把这类问题推广到一般情形:
将n个正整数1,2,3,…,n分别填入编号为1,2,3,…,n的n个空位,且每个空位上所填数字与其序号均不相同,并把所有这样排列的个数记为cn(借助“错”字拼音的首字母).
显然,c1=0,c2=1.下面,我们来计算c3.需分两步完成:
第一步,填数字1在2和3号位中任选一个位置将数字1填入,有2种填法.不妨将其填入2号位.
第二步,填数字2.又分两类来完成:
① 若将数字2填入1号位,则只需将数字3错位填入3号位上,有c1种填法;
② 若不将数字2填入1号位,则须将数字2和3填入1号和3号位,这等价于将数字2和3错位填入2号和3号位(因为数字2不能填入1号位,也不能填入2号位),有c2种填法.由分类计数原理可知,填数字2有(c1+c2)种填法.最后,由分步计数原理得,c3=2(c2+c1)=2×(0+1)=2.
我们再来计算c4.仍需分两步完成:
第一步,填数字1.在2、3、4号位中任选一个位置将数字1填入,有3种填法.不妨将其填入2号位.
第二步,填数字2,又分两类来完成:
① 若将数字2填入1号位,则只需将数字3和4错位填入3号和4号位上,有c2种填法;
② 若不将数字2填入1号位,则须将数字2,3,4填入1号,3号,4号位,这等价于将数字2,3,4错位填入2号,3号,4号位(因为数字2不能填入1号位,也不能填入2号位),有c3种填法.由分类计数原理可知,填数字2有(c2+c3)种填法.
最后,由分步计数原理得,
c4=3(c3+c2)=3×(2+1)=9.
这就是开头的那道高考题的解,故此题选B.
同理可得:c5=4(c4+c3)=4×(2+9)=44.
观察:c3=2(c2+c1),c4=3(c3+c2),c5=4(c4+c3),….
猜想:cn=(n-1)(cn-1+cn-2)(n≥3).
证明将n(n≥3)个正整数1,2,3,…,n错位填入编号为1,2,3,…,n的n个空位,需分两步完成:
第一步,填数字1,在2~n号位中任选一个k号位,将数字1填入,有n-1种填法.
第二步,填数字k,又分两类来完成:
①若将数字k填入1号位,则只需将数字2,3,…,k-1,k+1,…,n这n-2个正整数错位填入2,3,…,k-1,k+1,…,n有cn-2种填法;
②若不将数字k填入1号位,则须将数字2,3,…,k,…,n这n-1个正整数错位填入序号为1,2,3,…,k-1,k+1,…,n这n-1个空位,这等价于将数字2,3,…,k,…,n这n-1个正整数错位填入序号为2,3,…,k,…,n这n-1个空位中(因为数字k不能填入1号位,也不能填入k号位),有cn-1种填法.由分类计数原理可知,填数字k有cn-1+cn-2种填法.
最后,由分步计数原理得,
cn=(n-1)(cn-1+cn-2)(n≥3).
因此,错位排列数的一个递推公式为:
c1=0,c2=1,cn=(n-1)(cn-1+cn-2)(n∈N*,n≥3).
由此递推公式可知,错位排列数构成数列:
0,1,2,9,44,265,1 854,…,(n-1)(cn-1+cn-2),….
其排列规律是,从第3项起,以后的每一项都等于它前面两项和的项数减1倍.
一般情况下,在高中阶段,只要记住这个数列的前5项就足够了.
例1编号为1,2,3,4,5的五个人,分别坐在座号为1,2,3,4,5的座位上:
(1)没有一人号码一致的坐法有多少种?
(2)恰有两人号码一致的坐法有多少种?
(3)至多有两人号码一致的坐法有多少种?
解由错位排列数的递推公式知:
(1)没有一人号码一致的坐法有c5=44种.
(2)恰有两人号码一致的坐法有C25c3=10×2=20(种).
(3)分三类:① 没有一人号码一致的坐法有c5=44种;
② 恰有一人号码一致的坐法有C15c4=5×9=45(种);
③ 恰有两人号码一致的坐法有C25c3=10×2=20(种).
由分类计数原理得,至多有两人号码一致的坐法有:44+45+20=109种.
例2某地进行换届选举,要从甲、乙、丙、丁4人中选出3人担任3种不同的职务,规定上界任职的甲、乙、丙3人不能连任原职,则不同的任职结果有种.
解分两类:
① 不含丁:因为甲、乙、丙不能任原职,这相当于3个元素的错位排列,所以有c3=2种;
② 含丁:因为甲、乙、丙不能任原职,故必有一人排空(无职位),而丁又不能排空(有职位),这相当于4个元素的错位排列,所以有c4=9种.
由分计数原理,共有2+9=11(种).
例3为了迎接青奥会的召开,某校举行了一次体育知识竞赛,其中一道题是连线题,要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线.规定:每连对一条得5分,连错一条得-2分.某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.
(1)求该参赛者恰好连对一条的概率;
(2)设X为该参赛者此题的得分,求X的分布列与数学期望.
解(1)该参赛者恰好连对一条,有C14种可能,其他3条没连对,这相当于三个数的错位排列,有c3种可能,故有C14c3=4×2=8种不同的排法,而该参赛者连线的所有可能情况有A44=24种,故该参赛者恰好连对一条的概率为P=C14c3A44=824=13.
(2)X的所有可能取值为-8,-1,6,20.
P(X=-8)=c4A44=924,P(X=-1)=C14c3A44=4×224=824,
P(X=6)=C24c2A44=6×124=624,P(X=20)=1A44=124.
X的分布列为
X-8-1620
P924824624
124
X的数学期望为E(X)=(-8)×924+(-1)×824+6×624+20×124=-1.
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