基于rssi的三点定位算法

基于rssi的三点定位算法，是已知三个点的坐标和未知点到这三个点的rssi的信号值，求解未知点的坐标。

首先是将rssi信号转换为距离：

d=10^((ABS(RSSI)-A)/(10*n))

其中d为距离，单位是m。

RSSI为rssi信号强度，为负数。

A为距离探测设备1m时的rssi值的绝对值，最佳范围在45-49之间。

n为环境衰减因子，需要测试矫正，最佳范围在3.25-4.5之间。

在获取未知点到三个点的距离后，剩下的就是求解未知点的坐标。我们都知道两个圆会相交于一个或者两个点（如果相交），那么三个圆如果相交的话，必然会交于一个点（三个探测设备在一条直线上的情况下有可能相交于两个点，这里不考虑），所以我们要求解的未知点便是以三个已知点为圆心，以他们与未知点之间的距离为半径画出的三个圆的交点。那么这个问题就转化为了求三个已知圆的交点，然后如果根据圆的方程：

(x₁ – x)^2 + (y₁-y)^2 = r₁^2

(x₂ – x)^2 + (y₂-y)^2= r₂^2

(x₃ – x)^2 + (y₃-y)^2= r₃^2

求解的话，是非常难求出未知点的坐标的。

这里介绍另一种程序容易实现的计算方法：

一、判断任意两个圆是否相切（内切或外切），这里可以设定一个误差允许值d，也就是

(x₁ – x₂)^2 + (y₁-y₂)^2= (r₁+r₂+d)^2

满足上述公式时就认为两个圆相切，其中d为误差值，可以是正数或者负数。如果两个圆相切的话，那么交点就比较好求解了：

x = x₁+ (x₂ - x₁)*(r₁/(r₁ + r₂));

y = y1 + (y₂- y1)*(r₁/(r₁ + r₂));

求解到x和y的坐标后，只需要用第三个圆进行验证，即求出这个点到第三个圆的圆心的距离，再和第三个圆的半径做比较，如果在误差允许范围内，那么就可以认为求得的x，y是三个圆的交点，也就是未知点的坐标。

二、没有任意两个圆相切，那么就先用两个圆求解两个交点，如下图:

其中A,B是两个圆心，坐标分别为（x_a_，y_a）和（x_b_，y_bs），C,D是两个圆的焦点，E为AB与CD的交点。

其中

AB^2 = (x_a – x_b)^2 +(y_a-y_b)^2

其中

AC^2 =AE^2 + CE^2 ……………………1

BC^2 = BE^2+ CE^2 ……………………2

AC = r_a

BC= r_b

AE + BE = AB = (x_a – x_b)^2+ (y_a – y_b)^2

等式2转换为

BC^2 = (AB - AE)^2 + CE^2

BC^2 = AB^2 + AE^2 – 2*AB*AE + CE^2 ……………………3

等式3减去等式1:

BC^2 - AC^2 = AB^2 – 2*AB*AE

AE = (r_b ^2 - r_a ^2 -AB^2)/( – 2*AB)

于是可以根据以下公式求得CE

CE^2 = AC^2 – AE^2

我们还可以获取E点的坐标(x_E, y_E)

x_E = x_a + ( (x_b- x_a)*AE )/AB

y_E = y_a + ( (y_b- y_a)*AE )/AB

然后我需要求得AB和CD的斜率K_AB和K_CD

k_AB = (yb - ya)/(xb - xa)

k_CD = (-1)/k_AB //这里要注意k_AB为0的情况

然后求得CD和x轴的夹角

∠CDX = atan(k_CD)

这时候就可以求得C (x_c, y_c)和D(x_d, y_d)的坐标

x_c = x_E + CE*cos(∠CDXs)

y_c = y_E + CE*sin (∠CDXs)

x_d = x_E - CE*cos(∠CDXs)

y_d = y_E - CE*sin (∠CDXs) //这里也要注意sin (∠CDXs)和cos(∠CDXs)为nan的情况

至此，我们就求得了两个圆的两个交点坐标，然后只需要用这两个点去第三个圆做验证，就可以获得三个圆的交点，也就是我们要求的未知点。

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