【BZOJ 1041】圆上整点

1.题目链接。给定半径，找一下这个圆上有多少个整点。其实也就是格点。

2.这个题目其实是比较有意思的，做法也有很多种。比较常规的解法是：

$\\ x=\sqrt{r^2-y^2}\\ r^2-y^2=(r+y)*(r-y)\\ d=gcd(r+y,r-y)\\ A=\frac{r+y}{d},B=\frac{r-y}{d}\\ x^2=d^2*A*B[gcd(A,B)==1]\\$

到这里其实就好办了，因为x是一个平方数，A，B互质，所以A，B也应该是一个平方数。

$\\A=\frac{r+y}{d}=a^2,B=\frac{r-y}{d}=b^2\\ a^2+b^2=\frac{2*r}{d}.$

所以枚举2*r的因子，然后计算数量即可。

其实这个题目里面涉及到了一些比较有趣的东西：首先是一个结论：

然后这个题目更深层次的涉及到了高斯素数，有兴趣的可以学习一下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int res;
#pragma warning(disable:4996)
ll gcd(ll a, ll b)
{return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
bool check(ll n)
{ll sq = sqrt(n);return sq * sq == n;
}
void solve(ll rr)
{for (ll i = 1;i*i<= rr; i++){ll t = rr - i * i;if (!check(t))continue;ll j = sqrt(rr - i * i);if (i >= j)break;if (gcd(i*i, t) == 1)res++;}
}
int main()
{ll r;scanf("%lld", &r);res = 1;r <<= 1;for (ll d = 1;d*d <= r; d++){if (r% d != 0) continue;solve(r / d);if (d*d== r) break;solve(d);}printf("%d\n", res << 2);return 0;
}

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