记忆化搜索

将之后可以重复用到的子问题的答案进行记录。典例：斐波那契数列、走楼梯、走蜂窝。

斐波那契改进：走楼梯，第i阶台阶不能走。直接强行让第i级台阶方案数等于0即可。

推广：从起点到终点的最短路径方案数，可以通过广搜标记计算每一个点到达的方案数。

1163 -- The Triangle

图 1 显示了一个数字三角形。编写一个程序，计算从顶部开始到底部某处结束的路线上通过的最大数字总和。每一步都可以对角线向左或向右对角线向下。

从上往下写比较容易想，但从下往上写可以直接在顶点取到答案，数组开的也小，只用存输入数据即可，后面会自动更新。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f, maxn=105;
int n,f[maxn][maxn];
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=i;++j)scanf("%d",&f[i][j]);}for(int i=n-1;i>=1;--i){for(int j=1;j<=i;++j)f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1]);}cout<<f[1][1];return 0;
}

动态规划

分类加法原理：通过迭代相加得到答案

分步乘法原理：通过迭代相乘得到答案

多阶段决策过程最优化问题，一般阶段与阶段决策过程有相关性，通过记录每个阶段的最优决策结果来达到全局最优。

动态规划使用的基本条件：具有相同的子问题，满足最优子结构。比如说下列选择模4最小的路径的模数。只有找到最优子结构，才可以用动态规划。

既然所有之前经历过的余数将会对后方产生结果，那不如直接设f[i][0,1,2,3]，假设到达i点时需要其余数等于x，从前一个点到达i的路长为y，则之前的余数应当等于x-y。体现了动态规划的记录对未来有影响的数据的特点，即：

过去的状态只能通过现在的状态影响未来（翻译：要是你觉着这个状态数据会对未来产生影响，那你就把它记录下来）。走楼梯再次加难度：如果走过第50阶台阶，那就不能走第100阶台阶。

由“记录历史”原则，我们可以设置数组f[i][0,1]，其中f[i][0]表示没上过50，f[i][1]表示上过。

i<50: f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-2][0], f[i][1]=0   //根本没上过50i=50: f[50][0]=0, f[50][1]=f[49][0]+f[48][0]   //记录50的方案数50<i<100: f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-2][0], f[i][1]=f[i-1][1]+f[i-2][1] //只要走过50级台阶，就从走过的方案中数i=100:  f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-2][0], f[i][1]=0   //上过50就别想上100i>100:  f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-2][0], f[i][1]=f[i-1][1]+f[i-2][1]    //同 50<i<100

动态规划的一般步骤

做多了就不用了，只用于初学阶段。

1、结合原问题和子问题确定状态，基本是题目求什么我们就设什么，并做一些细微调整（如走楼梯）。

2、确定状态转移方程

参数够不够（记录历史状态）
分情况（最后一次操作方式，取不取，怎样取）
注意边界是什么
无后效性（如：求A就要求B，求B就要求C，求C就要求A，这种就不行）

3、考虑是否需要优化

4、编程实现：递归、记忆化搜索

例2 路径条数

N*M棋盘，过河卒需从左上角走到右下角，可以向下或向右，求路径条数。

左边界和上边界全部设为1，式子为f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]，递推即可。

又可以发现，这是个斜着的杨辉三角，即可以联系组合数求，等于。

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[NOIP2002]过河卒

如图，A 点有一个过河卒，需要走到目标 B 点。卒行走规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如上图的C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。例如上图 C 点上的马可以控制 9 个点（图中的P1，P2 … P8 和 C）。卒不能通过对方马的控制点。

细节问题：要考虑到边界点只能从左向右或从上到下，所以一旦有马拦就全变为0。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f, maxn=105;
int n,m,x,y,jg[30][30];
ll f[maxn][maxn];
int dx[]={0,2,2,1,1,-2,-2,-1,-1};
int dy[]={0,1,-1,2,-2,1,-1,2,-2};
int main(){cin>>n>>m>>x>>y;for(int i=0;i<9;++i)if(x+dx[i]<0||y+dy[i]<0||x+dx[i]>n||y+dy[i]>m) continue;else jg[x+dx[i]][y+dy[i]]=1;for(int i=0;i<=n;++i) f[i][0]=f[0][i]=1;for(int i=0;i<=n;++i){for(int j=0;j<=m;++j)if(!jg[i][j]){if(i==0&&j==0) continue;else if(i==0) f[i][j]=f[i][j-1];else if(j==0) f[i][j]=f[i-1][j];else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];}else f[i][j]=0;//}cout<<f[n][m];return 0;
}

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[NOIP2008]传球游戏

游戏规则是这样的：n个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了m次以后，又回到小蛮手里。两种传球的方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有3个同学1号、2号、3号，并假设小蛮为1号，球传了3次回到小蛮手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。

实际上就是求第i次传球，球在第j个人手中的方案数。此题给我的感悟就是：要把数据转化成自己好理解的形式进行dp会好想一些；一般是从结果倒着推过程；数组就是为了存信息的，一维二维具体情况不重要。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f, maxn=35;
int n,m;
ll f[maxn][maxn];
int main(){cin>>n>>m;if(m==1){cout<<0;return 0;}f[0][1]=1;for(int i=1;i<=m;++i){for(int j=1;j<=n;++j){if(j==1) f[i][j]=f[i-1][j+1]+f[i-1][n];else if(j==n) f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][1];else f[i][j]=f[i-1][j+1]+f[i-1][j-1];}}cout<<f[m][1];return 0;
}

最长不下降子序列

给出一组数，如果后面的数总大于前面的数，则称为最长不下降子序列。给出一组数，求最长不下降子序列（可以跳着选）。

我们并不知道当到第i个数的时候，是否该选i以及之前的长度能不能让我们去选i以成为当前最优解。所以我们考虑每次都必须选第i个数，并从第一个数开始找比它小的数，并将选择第i个数的最大长度等于之前小于i的数的最大的长度+1。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f, maxn=35;
int n,m, a[maxn],f[maxn];
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i){cin>>a[i];f[i]=1;}for(int i=2;i<=n;++i){int maxx=0;for(int j=1;j<i;++j){if(a[i]>a[j]) maxx=max(maxx,f[j]);}f[i]=maxx+1;}int maxx=-1;for(int i=1;i<=n;++i)maxx=max(maxx,f[i]);for(int i=1;i<=n;++i)cout<<f[i]<<' ';cout<<endl;cout<<maxx;return 0;
}

[SHOI2002]滑雪 - 洛谷

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数 RR 和列数 CC。下面是 RR 行，每行有 CC 个数，代表高度(两个数字之间用 11 个空格间隔)。输出区域中最长滑坡的长度。

为啥能保证查到数组中存放值，就一定是最长的坡呢？因为我们的代码逻辑十分严密，没算出来的值直接就派给分身（递归）去算了鸭！

细节问题：别忘了每个点最小长度都为1鸭，要不就会少算一个长度QAQ

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f, maxn=105;
int r,c,mp[maxn][maxn],f[maxn][maxn],ans;
int dx[]={0,0,1,-1};
int dy[]={1,-1,0,0};
int calc(int x,int y){if(f[x][y]) return f[x][y];//因为代码逻辑严密，保证了只要是算出来的数，//就一定是x，y作为起点最长的滑雪道长度 f[x][y]=1;//别忘记设初始值QAQ for(int i=0;i<4;++i){int xx=x+dx[i], yy=y+dy[i];if(xx<1||xx>r||yy<1||yy>c||mp[xx][yy]>=mp[x][y])continue;calc(xx,yy);f[x][y]=max(f[x][y],f[xx][yy]+1);}return f[x][y];
}
int main(){cin>>r>>c;//行列 for(int i=1;i<=r;++i)for(int j=1;j<=c;++j)cin>>mp[i][j];//读入图 for(int i=1;i<=r;++i)for(int j=1;j<=c;++j)ans=max(ans,calc(i,j));cout<<ans;return 0;
}

最大子段和 - 洛谷

给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

如果我们考虑a[i]为第i个数，f[i]表示第i个数一定要选的区间和，那么可以从一开始维护一个最大数的区间段，即f[i]=max(a[i], f[i-1] + a[i]) ，因为已经保证了之前选的区间一定是最大的且与i连续的，所以递推式子成立。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f, maxn=200005;
int n,a[maxn],f[maxn],ans=-inf;
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]);for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,f[i]);cout<<ans;return 0;
}

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