钢条切割(动态规划问题)

动态规划

动态规划与分治方法相似都是通过组合子问题的解来求解原问题
动态规划通常用来求解最优化问题，这样的问题可以有很多个可行解，每一个解都有一个值，我们希望寻找具有最优值（最大值或者最小值）的解，
最优值有一个，但是最优解可能有多个；

通常按如下四个步骤设计一个动态规划算法
1、刻划一个最优解的结构特征
2、递归地定义最优解的值
3、计算最优解的值，通常采用自底向上方法
4、利用计算出的信息构造一个最优解

1、 我这一看就蒙蔽了，我就理解了后面三句；
2、 第二句就是用递归地方法求解，而此处得到的仅仅只是一个结果
3、 第三句就是计算结果，方法有 自底向上 和 自顶向下两种方法
4、 第四句就是得到结果是怎么得出来的，哪些数值组合得到这个结果的

钢条切割

Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。假定我们知道Serling公司出售一段长为i英寸的钢条的价格为pi(i=1,2,…，单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。图15-1给出了一个价格表的样例。

钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1,2,…n)，求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。注意，如果长度为n英寸的钢条的价格pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

问题理解（一般这个都跳过，肯定读过了）

长度为n英寸的钢条共有2n-1种不同的切割方案，因为在距离钢条左端i(i=1,2,…n)英寸处，总是可以选择切割或不切割。

如果一个最优解将钢条切割为k段（对某个），那么最优切割方案，将钢条切割为长度分别为i1,i2…ik的小段得到的最大收益为。

对于，。其中，pn对应不切割，对于每个i=1,2,…,n-1，首先将钢条切割为长度为i和n-i的两段，接着求解这两段的最优切割收益ri和rn-i(每种方案的最优收益为两段的最优收益之和)。当完成首次切割后，我们将两段钢条看成两个独立的钢条切割问题实例。通过组合两个相关子问题的最优解，并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。

钢条切割问题还存在一种相似的但更为简单的递归求解方法：将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩下的长度为n-i的一段继续进行切割，对左边的一段则不再进行切割。这样得到的公式为：。这样原问题的最优解只包含一个相关子问题（右端剩余部分）的解，而不是两个。

java代码

朴素递归算法

package CutRod;public class CutRod1 {private static int p[] = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};public static int CUT_ROD(int p[],int n) {if(n==0) {return 0;}int q=-1;for(int i=1;i<n+1;i++) {q=q>(p[i]+CUT_ROD(p, n-i))?q:(p[i]+CUT_ROD(p, n-i));//不断比较出最大值，最后得出结果，//这里的普通递归方法重复计算了许多相同的内容    如：再求10米的最大值时候  //CUT_ROD(p,4)这个要多次重复计算，如CUT_ROD(p,6)中会有p[2]+CUT_ROD(p,4)，CUT_ROD(p,5)会有p[1]+CUT_ROD(p,4)，这个本来就是死结果不会变的，我们将CUT_ROD(p,4）保存起来//再次计算他的时候直接取结果就可以了，而不用再次递归重复计算，浪费时间；由此引申出动态规划中//的从顶向下的计算方法，与这里的主要区别就是将各个最大结果保存在了数组之中，从而避免了繁琐的//重复递归调用}return q;}public static void main(String[] args) {int m = CutRod1.CUT_ROD(p, 10);System.out.println(m); }
}

自顶向下

package CutRod;
//加入备忘机制的切割钢条
//自顶向下
public class CutRod {private static int p[] = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};private static int maxP[] = new int[100];static {for(int i =0;i<maxP.length;i++) {maxP[i] = -10;}}public static int cut_Rot(int p[],int n) {if(maxP[n]>0) {return maxP[n];} if(n==0) {return 0;}for(int i=1;i<n+1;i++) {maxP[n] = maxP[n]>(p[i]+cut_Rot(p, n-i))?maxP[n]:(p[i]+cut_Rot(p, n-i));  }return maxP[n];} public static void main(String[] args) {int m = CutRod.cut_Rot(p, 10); for(int i = 1;i<11;i++) {System.out.println(maxP[i]);}}}

自底向上

package CutRod;
//自底向上
public class CutRod2 {private static int maxP[] = new int[11];private static int p[] = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};static {for(int i =0;i<maxP.length;i++) {maxP[i] = 0;}}public static int CUT_ROD(int p[],int n){for(int j=1;j<n+1;j++) {for(int i = 1;i<j+1;i++) {maxP[j] = maxP[j]>(p[i]+maxP[j-i])?maxP[j]:(p[i]+maxP[j-i]);}}return maxP[n];}public static void main(String[] args) {int m = CutRod2.CUT_ROD(p, 10);for(int i = 0;i<maxP.length;i++) {System.out.println(maxP[i]);}}
}

重构建（可以得出切割方法）

package CutRod;public class CutRod3 {private static int p[] = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};private static int maxp[] = new int[11];private static int edge[] = new int[11];static {for(int i = 0;i<maxp.length;i++) {maxp[i] = 0;}}public static int CUT_ROD(int p[],int n) {for(int j=1;j<n+1;j++) {for(int i =1;i<j+1;i++) {if(maxp[j]<p[i]+maxp[j-i]) {maxp[j] = p[i]+maxp[j-i];edge[j] = i; } }}      return 0;}public static void main(String[] args) {int n = 9;CutRod3.CUT_ROD(p, n);while(n>0) {System.out.println(edge[n]);n = n - edge[n];}}
}