AcWing 165 小猫爬山

题目描述：

翰翰和达达饲养了N只小猫，这天，小猫们要去爬山。

经历了千辛万苦，小猫们终于爬上了山顶，但是疲倦的它们再也不想徒步走下山了（呜咕>_<）。

翰翰和达达只好花钱让它们坐索道下山。

索道上的缆车最大承重量为W，而N只小猫的重量分别是C1、C2……CN。

当然，每辆缆车上的小猫的重量之和不能超过W。

每租用一辆缆车，翰翰和达达就要付1美元，所以他们想知道，最少需要付多少美元才能把这N只小猫都运送下山？

输入格式

第1行：包含两个用空格隔开的整数，N和W。

第2..N+1行：每行一个整数，其中第i+1行的整数表示第i只小猫的重量CiCi。

输出格式

输出一个整数，表示最少需要多少美元，也就是最少需要多少辆缆车。

数据范围

1≤N≤18,
1≤Ci≤W≤10^8

输入样例：

输出样例：

分析：

本题与上一题都是求满足一定条件下的最小分组数，整体思路一致，只是多了一些剪枝。

常见剪枝方法：

1.优化搜索顺序，不同的搜索顺序产生的搜索树形态不同，如果先搜索较少分支的部分，后面再剪枝，就可以大幅减少搜索时间。

2.排除等效冗余，如果搜索树上几条分支效果是一样的，就可以只搜其中的一个分支。

3.可行性剪枝，比如题目限定总重量不超过w，一旦搜索过程中某条路径出现总重量超过w的分支，就可以停止遍历该分支。

4.最优性剪枝，要求的是最小值等属性，当某个搜索代价超过了之前的最优解，就可以停止搜索，执行回溯。

5.记忆化搜索，搜索过程中可能会重复访问一个节点，可以将该状态的值存储下来，下次访问直接返回。

本题的搜索过程为：搜索第u只小猫时，先尝试把它放入现有的缆车中（如果放得下），最后尝试新开一个缆车放进猫，搜索完所有的放猫组合，找出最优解。很明显的剪枝是最优性剪枝，如果前面有个方案只花费了k辆缆车，后面搜索过程中枚举到第k辆车时就不用继续搜索了，因为不可能更新最优解。可行性剪枝就是加入当前猫时重量超过w的情况就不再枚举，比较不容易想到的是优化搜索顺序，由于最优性剪枝的存在，我们希望尽可能的先枚举缆车数少的情况，如果有一种方案只用了2辆车，就可以剪掉后面所有大于等于2的方案数了，如果我们知道怎样枚举花的缆车是最少的，就不用再去搜索了，所以我们只要用一种优于直接搜索的搜索顺序即可。比如有四只猫，重量分别为2 4 6 8，如果我们按照这样的顺序枚举，最先搜索的分支是第一辆车放2 4，第二三辆车放6和8，最先搜到的解是3辆；如果我们按照从大到小的顺序去搜索，也就是8 6 4 2的顺序，首先前两辆车分别放8和6，第三只猫放置第二辆车上，第四只猫放在第一辆车上，这样就只花了两辆车了，所以按照从大到小的重量去枚举猫，得到的解比较小，有利于最优性剪枝，这个优化搜索顺序的方法差不多可以减少三倍的dfs时间。

当然，本题数据范围小一方面是可以用暴搜做，另一方面也可以用状态压缩DP去做，f[i][j]表示放置小猫状态为j时第i辆车已经消耗重量的最小值，状态转移方程为f[i][j | 1<< k] = min(f[i][j] + w[k]),f[i][j] + w[k] <= w。f[i+1][j | 1 << k] = min(w[k]),f[i][j] + w[k] > w时，放不下就再开一辆。鉴于状压的思路比较复杂且未必优于剪枝过后的dfs，这里就只用dfs去实现本题了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
int c[N],car[N],len,n,w,ans = N;
void dfs(int u){if(len >= ans)  return;//最优性剪枝if(u == n){ans = len;return;}for(int i = 0;i < len;i++){if(car[i] + c[u] <= w){//可行性剪枝car[i] += c[u];dfs(u + 1);car[i] -= c[u];}}car[len++] = c[u];dfs(u + 1);car[--len] -= c[u];
}
int main(){cin>>n>>w;for(int i = 0;i < n;i++)    cin>>c[i];sort(c,c + n,[=](int x,int y){return x > y;});//优化搜索顺序dfs(0);cout<<ans<<endl;return 0;
}

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