CF451 - Devu and Flowers

n倍经验题：

CF451E Devu and Flowers - 洛谷

codeforces传送门

感觉算法进阶指南的题目有空还是要都刷一下

题意： 有n种花，每种花最多有 f i f_i fi朵，问要取s朵有多少种取法（对1e9+7取模）

$ n \leq 20, s \leq 1e14, f_i \leq 1e12$

思路：

（其实感觉网上题解随便一搜都讲的比我好我就记录整理给自己看看（

状压+组合数 (隔板法)+容斥原理

如果每个f都无限大，则 a n s = C n + s − 1 n − 1 ans = C^{n - 1}_{n + s - 1} ans=Cn+s−1n−1（隔板法）

但这样取会有花超过该种花总数上限，但考虑某种超过上限的花，该花至少取了f+1，即不合法地取该花的总数为 C ( n + s − 1 ) − ( f − 1 ) n − 1 C^{n - 1}_{(n + s - 1) - (f - 1)} C(n+s−1)−(f−1)n−1，（相当于这种花已经取了f+1，其余(n + s - 1) - (f - 1)继续隔板）

结合到n的范围，这时候容斥就来了

最终的 a n s = C n + s − 1 n − 1 − ∑ C n + s − 1 − f i − 1 n − 1 + ∑ C n + s − 1 − f i − 1 − f j − 1 n − 1 … ans = C^{n - 1}_{n + s - 1} - \sum C^{n - 1}_{n + s - 1 - f_i - 1} + \sum C^{n - 1}_{n + s - 1 - f_i - 1 - f_j - 1} \dots ans=Cn+s−1n−1−∑Cn+s−1−fi−1n−1+∑Cn+s−1−fi−1−fj−1n−1…

同样注意到n很小，C可以直接算，算的时候注意不要爆longlong

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;constexpr ll mod = 1e9 + 7;
constexpr ll N = 30;ll f[N];
ll invn[N]; // n invinline void init() {invn[0] = invn[1] = 1;for (ll i = 2; i < N; ++i) {invn[i] = (mod - mod / i) * invn[mod % i] % mod;}
}ll C(ll up, ll down) {if (up > down) return 0;if (up < 0 || down < 0) return 0;ll res = 1;for (ll i = down - up + 1; i <= down; ++i) {res = res * (i % mod) % mod;}for (ll i = 1; i <= up; ++i) {res = res * invn[i] % mod;}return res;
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);init();ll n, s;cin >> n >> s;for (ll i = 0; i < n; ++i) {cin >> f[i];}ll ans = 0;for (ll st = 0; st < (1 << n); ++st) {ll cnt = 0, down = n + s - 1, up = n - 1;for (ll i = 0; i < n; ++i) {if ((st >> i) & 1) {cnt++;down -= f[i] + 1;}}
//        cout << cnt << " " << up << " " << down << endl;if (cnt & 1) {ans = (ans - C(up, down) + mod) % mod;} else {ans = (ans + C(up, down)) % mod;}}cout << (ans + mod) % mod << endl;return 0;
}

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