一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√2-3x 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√2-3x 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√2-3x≥0， 故3+√2-3x≥3。

∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：1被开方数的非负性，2值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=x(0≤x≤5)的值域。

答案：值域为：{0,1,2,3,4,5} 二.反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为：x=(1-2y)/(y-1)，其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。

答案：函数的值域为{y∣y1} 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√-x2+x+2的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由-x2+x+2≥0，可知函数的定义域为x∈-1,2。

此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈0,9/4 ∴0≤√-x2+x+2≤3/2，函数的值域是0,3/2 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.答案：值域为{y∣y≤3} 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为y-2x2-(y-2)x+(y-3)=0 *) 当y≠2时，由Δ=y-22-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2 当y=2时，方程*无解。

∴函数的值域为2 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。

常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√cx2+dx+e的函数。

练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。

答案：值域为y≤-8或y>0。

五.最值法 对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x)，可求出y=f(x)在区间a,b内的极值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。

例5已知2x2-x-3/(3x2+x+1)≤0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)， ∴z=-(x-2)2+4且x∈-1,3/2，函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=-5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。

对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 A.-∞，+∞ B.-7，+∞ C.0，+∞ D.-5，+∞ 答案：D。

六.图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√x-22 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为 -2x+1 (x≤1) y= 3 (-1 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。

显然函数值y≥3，所以，函数值域3，+∞。

点评：分段函数应注意函数的端点。

利用函数的图象 求函数的值域，体现数形结合的思想。

是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七.单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3)，易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3，因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3}。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x 的值域。

答案：{y|y≥3} 八.换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1 (t≥0)，则 x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2}。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函...