第三章 微分中值定理及其应用
第三章考题
- 求极限
- 函数的极值和最值，曲线的凹凸性及其拐点
- 曲线的渐近线
- 方程的根
- 不等式的证明
- 中值定理的证明题
微分中值定理
定理1：费马引理：
如果函数在一点可导，并且在该点取得极值，则导数为0
根据图像比较容易得出结论
定理2：罗尔定理：
如果函数在闭区间连续，开区间可导
两端点值相等，则可以证明至少存在一点导数为0
证明：
方法一，几何明显
方法二，一定存在最小值m,最大值M
- m==M，则可以证明导数处处为0
- m < M，又根据两端点值相等，则至少有一个值是在区间内部，且为极值点，所以可以证明导数为0
定理3：拉格朗日中值定理：
上述条件下，一定存在一点导数值等于两点连线的斜率
定理4：柯西中值定理
存在两个函数满足上述条件，则一定存在一点的两个函数的导数值为两点函数的差值
证明：可以将y,x当做对t的参数方程，按照拉格朗日进行求导
三个微分中值定理
- 意义：建立函数和导数之间的关系
- 罗尔定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日是柯西中值定理的特例
- 但后面两个都是罗尔定理构建辅助函数得出的结论，罗尔定理反而是重点
泰勒公式
泰勒公式意义
- 建立函数和高阶导数的连接
- 把函数用多项式逼近
两种余项的泰勒公式
皮亚诺余项
拉格朗日余项
区别：
条件不同，皮亚诺余项要求n阶可导，拉格朗日余项要求n+1阶可导
关于余项不同，皮亚诺余项的余项只能保证在x趋向x0的时候，与x0的差值n次方会是无穷小
拉格朗日余项则是存在一点介于x和x0之间在展开之间（中值定理）
皮亚诺余项是要求局部形态，适用于极限，极值
拉格朗日余项要求整体形态，用于求最值，不等式
常用五个泰勒公式
导数的应用
单调性：
根据导数的正负性就可以判断区间内导数的增减性
函数的极值：
在局部形态下，如果邻域内恒有大于或者小于该点值，则说明在该点取得极值
定理8：极值的必要条件
如果可导，取得极值，则导数为0
将所有导数为0的点称作驻点
因为是必要条件，所以驻点不一定是极值；但对于可导函数而言，极值一定是驻点
所以极值的取值范围，只可能是驻点or导数不存在的点
因为驻点是极值是必要条件所以
定理9：极值的第一充分条件（可判断第一种或者第二种可能的极值）
如果该点邻域可导，在该点两边一阶导数变号，且该点可导或者不可导但连续；
则该点为极值点
定理10：极值的第二充分条件（只能判断第一种，且要求二阶导存在）
驻点的二阶导数不为0，则一定是极值点
如果二阶<0为极大值
如果二阶>0为极小值
函数的最大最小值
找连续函数的最值
第一步：求出驻点和不可导点（可能的极值点）
第二步：然后比较他们和端点的函数值
如果极值点是唯一的，则如果是极大则为最大，如果极小，则为最小
如果是应用题，需要建立目标函数
曲线的凹凸性
二阶导数如果>0，则是凹的；如果<0，则是凸的
一阶导数判断函数的增减性，二阶导数判断函数的凹凸性
拐点：端点两端二阶导数变号，注意：拐点一定是曲线上的点，一定要用两个坐标去表示
极值点可以是x轴上的点,x=具体的数
如何判定是否是拐点
极值点一个必要两个充分对应
曲线的渐近线
1）水平渐近线：最多两条
2）垂直渐近线：可以有无穷多条，分母为0
3）斜渐近线：
函数作图
- 确定定义域
- 求一阶导数
- 求二阶导数
- 求渐近线
曲线的弧微分与曲率
曲率：K = |y’’|/(1+y’2)(3/2)
曲率半径：R = 1/K
基本题型
- 函数静态：研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点
- 求渐近线
- 求方程的根
- 不等式证明
- 中值定理以及证明题
一、研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点
极值只可能是导数为0或者导数不存在的点
如何判断：
- 左右导数是否变号
- 二阶导数是否!=0
导数不存在且为极值的条件是该点必须连续
有关分段函数在分界点上是否为拐点或取得极值，只需要要求函数连续，然后判断左右导数是否异号即可
二、渐近线
斜渐近线需要将函数写成ax+b+O(x)的形式，后面趋向于无穷小
三、方程的根
通常写成f(x) = 0，然后计算有多少个根
题型：
方程根的存在性：
- 零点函数定理，左右端点异号
- 罗尔定理，找到fx的原函数，带入左右端点都是0，然后求导可知fx存在一点取得0
根的个数：
- 单调性：这样就能确定只有一个
- 罗尔定理的推论：如果n阶导数不为0，最多有n个零点
四、不等式的证明
- 单调性：将所有式子移到一边，然后求导，得出FX恒大于0，可以求解
- 拉格朗日中值定理：通常用于两点之差的式子
- 最大最小值定理：最小值大于0
两个重要结论
sinx < x < tanx
x/(1+x) < In(1+x) < x
(采用中值定理证明)
五、中值定理的证明题
习题推导，如果在一段区域内n个值相等，可以证明至少存在n-1导数为0
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§3.1 中值定理 一.罗尔定理 若在闭区间上连续,开区间内可导,且,则至少存在一点,使. 在证明罗尔定理之前,我们先来描述一下它的几何意义. 为了使同学们更直观地看到这一点,我们在计算机上做一个动 ...
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文章目录: 一:微分中值定理 定理1 费马原理 定理2 罗尔定理
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（3）曲线的凹凸 拐点 曲率
§3.7 曲线的凹凸与拐点 一.引例 研究了函数的单调性.极性,对于函数的性态有了更进一步的了解.为了描绘出函数的图象的主要特征,仅凭此两点还是不够的. [引例]作函数与在 上的图象. 曲线的凹凸 ...
- 第三章微分中值定理与导数应用
罗尔定理 费马引理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 洛必达法则 四则运算的前提条件是 有极限 洛必达法则失效案例 泰勒公式 泰勒中值定理证明 单调性 凹凸性与拐点 极值与最值 第二充分条件失效可以用第 ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）罗必达法则
§3.2 罗必达法则 当( 或)时,两个函数与都趋向于零或都趋向于无穷大,那么,极限可能存在,也可能不存在.通常把这种极限叫做不定式,并分别简记为型或型. 对不定式,不能简单地用"商的极限 ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（8）曲率
§3.9 曲率 一.弧微分 1.有向曲线与有向线段的概念 给定曲线,取曲线上一固定点作为度量弧长的基点.规定:曲线的正向为依增大的方向. 对曲线上任一点,弧段是有向弧段,它的值规定如下: (1).的 ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）函数单调性 极值 最大值 最小值
§3.4 函数的单调性 一.从几何图形上看函数的单调性 运行matlab程序gs0303.m,可得到函数与它的导函数在上的图象,从图形上可以观察到: 函数在上是单调减少,在上是单调增加: 其导函数在 ...
- 第三章微分中值定理及导数应用（柯西中值和泰勒公式）
1.柯西中值定理 2.皮亚诺型余项泰勒公式和拉格朗日型泰勒公式 2.1 定义 2.2共同点 1.多项式逼近,2.函数和高阶的关系 2.3 不同点 皮亚诺型余项泰勒公式:局部,如极限.极值 .拉格朗日型 ...
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