常见高斯型求积公式简介
一维区间上的求积公式
区间 [a,b][a,b][a,b] 上带权函数 ρ(x)\rho(x)ρ(x) 的插值型求积公式的一般形式为
I(f)=∫abρ(x)f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)(1)I(f) = \int^b_a \rho(x) f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k) \tag{1}I(f)=∫abρ(x)f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk)(1)
其中 xk,Ak(k=0,1,2,⋯,n)x_k, A_k(k=0,1,2,\cdots,n)xk,Ak(k=0,1,2,⋯,n) 为 2n+22n+22n+2 个待定参数。
若求积公式 (1)(1)(1) 对一切不高于 mmm 次的多项式 p(x)p(x)p(x) 都精确成立,并且存在一个 m+1m+1m+1 次多项式,使得求积公式不精确成立,则称该求积公式的代数精度为 mmm. 可以证明,通过恰当地选择节点 xkx_kxk 和系数 AkA_kAk, 最高能使 I(f)I(f)I(f) 的代数精度达到 2n+12n+12n+1.
高斯积分
使求积公式 (1)(1)(1) 达到最高代数精度 2n+12n+12n+1 的求积公式称为高斯型求积公式。节点 xkx_kxk 称为高斯点,系数 AkA_kAk 称为高斯系数。
高斯-勒让德积分
对于高斯型求积公式,如果权函数 ρ(x)=1\rho(x)=1ρ(x)=1, 则称相应的求积公式为高斯-勒让德积分公式,即
∫−11f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk).\int^1_{-1} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k).∫−11f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk).
高斯点 xkx_kxk 取为勒让德多项式的零点,高斯系数可以查表得到。
如果积分区间是 [a,b][a,b][a,b], 将积分变量 x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b] 做如下的线性变换
x=b−a2t+a+b2x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}x=2b−at+2a+b
将积分区间从 [a,b][a,b][a,b] 转换至 [−1,1][-1,1][−1,1],于是得到
∫abf(x)dx=b−a2∫−11f(b−a2t+a+b2)dt.\int^b_a f(x) dx = \frac{b-a}{2}\int^{1}_{-1} f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\right) dt.∫abf(x)dx=2b−a∫−11f(2b−at+2a+b)dt.
这样就可以用高斯-勒让德求积公式计算一般区间的积分。
高斯-切比雪夫积分
高斯-切比雪夫积分的权函数 ρ(x)=11−x2,x∈[−1,1],\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, x\in [-1,1],ρ(x)=1−x21,x∈[−1,1], 那么
∫−11f(x)1−x2dx≈∑k=0nAkf(xk),\int^1_{-1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),∫−111−x2f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
其中 xk(k=0,1,⋯,n)x_k (k=0,1,\cdots,n)xk(k=0,1,⋯,n) 是 n+1n+1n+1 阶切比雪夫多项式 Tn+1(x)=cos[(n+1)arccosx]T_{n+1}(x)=\cos [(n+1)\arccos x]Tn+1(x)=cos[(n+1)arccosx] 的零点
xk=cos2k+12n+2π,k=0,1,⋯,nx_k = \cos \frac{2k+1}{2n+2}\pi,\quad k=0,1,\cdots,nxk=cos2n+22k+1π,k=0,1,⋯,n
求积系数是
Ak=πn+1,k=0,1,⋯,n.A_k = \frac{\pi}{n+1},\quad k=0,1,\cdots,n.Ak=n+1π,k=0,1,⋯,n.
高斯-拉盖尔积分
高斯-拉盖尔积分的权函数 ρ(x)=e−x,x∈[0,+∞).\rho(x)=e^{-x}, x\in[0,+\infty).ρ(x)=e−x,x∈[0,+∞). 那么
∫0∞e−xf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk),\int^\infty_0 e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),∫0∞e−xf(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
积分点和求积系数可以查表得到。根据上式,可以得到
∫0∞f(x)dx=∫0∞e−xexf(x)dx=∫0∞e−xF(x)dx≈∑k=0nAkF(xk),\int^\infty_0 f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} e^{x} f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} F(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k F(x_k),∫0∞f(x)dx=∫0∞e−xexf(x)dx=∫0∞e−xF(x)dx≈k=0∑nAkF(xk),
其中 F(x)=exf(x)F(x) = e^xf(x)F(x)=exf(x). 对于 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞) 区间上的积分 ∫a∞e−xf(x)dx\int^\infty_a e^{-x}f(x)dx∫a∞e−xf(x)dx, 通过变量代换 x=a+tx=a+tx=a+t, 将 x∈[a,∞)x\in[a,\infty)x∈[a,∞) 变为 t∈[0,∞)t\in [0,\infty)t∈[0,∞), 再利用高斯-拉盖尔求积公式计算积分
∫a∞e−xf(x)dx=∫0∞e−(a+t)f(a+t)dt=e−a∫0∞e−tf(a+t)dt.\int^\infty_a e^{-x}f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-(a+t)} f(a+t) dt =e^{-a} \int^\infty_0 e^{-t} f(a+t) dt .∫a∞e−xf(x)dx=∫0∞e−(a+t)f(a+t)dt=e−a∫0∞e−tf(a+t)dt.
高斯-厄米特积分
高斯-厄米特积分的权函数 ρ(x)=e−x2,x∈(−∞,+∞).\rho(x)=e^{-x^2}, x\in(-\infty,+\infty).ρ(x)=e−x2,x∈(−∞,+∞). 那么
∫−∞∞e−x2f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk),\int^\infty_{-\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),∫−∞∞e−x2f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
积分点和求积系数可以查表得到。
附录
正交多项式
正交多项式 Pn(x),n=0,1,2,⋯,P_n(x), n = 0,1,2,\cdots,Pn(x),n=0,1,2,⋯, 具有如下性质:
- 对每一个 nnn, Pn(x)P_n(x)Pn(x) 是 nnn 次多项式;
- ∫abρ(x)Pi(x)Pj(x)dx=0,i≠j\int^b_a \rho(x) P_i(x) P_j(x) dx = 0, i\neq j∫abρ(x)Pi(x)Pj(x)dx=0,i=j;
- 对任意一个次数不大于 n−1n-1n−1 的多项式 P(x)P(x)P(x), 有
∫abρ(x)P(x)Pn(x)dx=0,n≥1\int^b_a \rho(x) P(x) P_n(x) dx = 0, n\geq 1∫abρ(x)P(x)Pn(x)dx=0,n≥1 - Pn(x)P_n(x)Pn(x) 在 (a,b)(a,b)(a,b) 内有 nnn 个互异零点。
利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤:
- 以 n+1n+1n+1 次正交多项式的零点 x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_nx0,x1,⋯,xn 作为积分点(高斯点);
- 用高斯点 x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_nx0,x1,⋯,xn 对 f(x)f(x)f(x) 做拉格朗日插值多项式
f(x)≈∑k=0nlk(x)f(xk)f(x)\approx \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k)f(x)≈k=0∑nlk(x)f(xk)
代入积分式
∫abρ(x)f(x)dx≈∫abρ(x)[∑k=0nlk(x)f(xk)]dx=∑k=0n[∫abρ(x)lk(x)dx]f(xk).\int^b_a \rho(x) f(x)dx \approx \int^b_a \rho(x)\left[ \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k)\right] dx\\ = \sum_{k=0}^n \left[ \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx \right] f(x_k).∫abρ(x)f(x)dx≈∫abρ(x)[k=0∑nlk(x)f(xk)]dx=k=0∑n[∫abρ(x)lk(x)dx]f(xk).
因此,求积系数为
Ak=∫abρ(x)lk(x)dx,k=0,1,⋯,n.A_k = \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx,\quad k =0,1, \cdots,n. Ak=∫abρ(x)lk(x)dx,k=0,1,⋯,n.
参考资料
[1] 高斯(Gauss)求积公式
[2] 高斯-勒让德公式-中南大学
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