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第三章幂函数展开

第三章幂级数展开

3/19/2012 1

幂级数展开

幂级数展开是一个十分有用的数学工具，在

复变函数论中尤其如此，幂级数还与解析函

数的本质具有深刻的联系。

幂级数可用来求解微分方程(第9章)，计算特

殊函数的函数值。还可以用来扩展解析函数

的定义域(解析延拓)。双边幂级数(洛朗级数)

还可用于分析函数奇点性质。

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复数项级数

对于一般的复数项无穷级数

∑w w +w +...

k 1 2

k 1,∞

改写成w =u +iv 的形式，有

k k k

w u +i v

∑ ∑ ∑

k k k

k 1,∞ k 1,∞ k 1,∞

因此复级数的收敛性问题可简单归结为两个

实级数的收敛性问题。

如果wk是z的函数，则该级数又称作函数项级

数或复变项级数。

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柯西收敛判据

复数项级数收敛的充要条件是：对于任一给

定小正数ε，存在N使得n>N 时，有：

n+p

∑wk

k n+1

其中p为任意正整数。

也叫柯西收敛准则。形式上和实级数中的情况

完全相同。

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绝对收敛

考虑复数项级数 w 以及其各项模组成的正项级数

∑ k

k 1,∞

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